1樓：tetradecane
等價無窮小可以替換的前提是，略去的高階無窮小一定不起作用。你這裡用等價無窮小替換之後發現做錯，肯定是高階無窮小起作用了。復合函式不可直接等價無窮小替換，只有嚴格的乘除結構可以直接等價無窮小替換，乘除結構可以保證略去的高階無窮小不起作用。
高讚 @王希 的回答也解釋得很清楚。
括號內部的乘除運算，對於外部來說確實是加減運算，這個理解沒錯。
我寫乙個容易想到的、比較方便的求解方法：
【以下過程均略去極限符號 】
研究 ，我們要拆掉礙事的 ，先研究一下 裡面的東西趨向什麼。
考慮到 ，所以
這個等價無窮小代換必然是可以的，因為確實只有乘除結構。注意到現在出現了加減結構，於是不可以進行題主的那種等價無窮小替換了。通分再代換
最後就是洛必達了
所以最終答案是 .
要步步嚴格符合等價無窮小替換、洛必達法則的要求。泰勒展開也可以，只不過對於這題有點太繁瑣。
2樓：王希
和 是等價無窮小，所以你可以互相替換的原因是：你給 乘了乙個 ，而後者的極限是 1.所以結果不變。
而在對數里，相當於加上了一項 .這一項當然是等於 0 的。但是注意，你題目裡的那個對數本身的極限也為 0 ，它除以了乙個趨於 0 的量 。
也就是說，最後的結果實際上多加了 .而這個結果不一定為 0 。如果不為 0， 就會出錯。
3樓：王阿木
你看那個很煩人的分母，你不用等比求和等價無窮也能看出來它極限是n，直接代入一樣的答案，過程還簡單些。
等價和相等還是不一樣的。等價代換可以，但不要消除變數。消除變數也可以，但要保留高階小量，實質和某答主說的級數展開是一樣的。
比如你直接證明x～0時e的nx次方等價nx+1，然後等價代換袋鼠運算就很方便了。你這個演算法就是提前把部分極限值當確定值代到式子裡了，最後結果就少了一部分。
所以這種較複雜的極限，等價無窮要變數換變數，還不能急著消除變數，要盡可能留著，如果出現了像你這樣不得不消除的情況，就是袋鼠變換方向錯了，走進了死胡同。
其實做題嘛，你要是有感覺，自然知道該往幾階變數上去湊。這種形為1的無限大次方的極限求值，1必然是極限1而不是代數1，你算著算著直接就等於1了必然不對啊。不用看什麼特殊的書，多做做題注意總結就好了。
4樓：
一般遇到e，log這種的極限，二階展開比較靠譜一點。以下是在草稿紙上寫的答案，手機不方便打tex，實在抱歉，將就著看看吧。
5樓：圈啊圈
原因：復合函式的中間變數，不能直接用等價無窮小代換。
等價無窮小不是真的相等，還是丟掉了一些小量，復合函式裡用容易把這些小量放大。
我數學底子不是很紮實，所以去查了一下。
題主可以參看用等價無窮小代換求極限中的一些問題-【維普網】據此能夠看出，題主所用的方法屬於不規範的代換。
如果要用題主的方法，需要 和 在 為同階無窮小，但這裡並不是，因此不能這麼做。
如果題主還是想用兩次無窮小的解法可以這樣：,然後或者對ln()裡面用洛必達，都可以做出來。
_(:з)∠)_再次吐槽知乎公式編輯器真難用…
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