1樓：Erving
其他答案都對，補充一點個人經驗
我之所以會有這個困擾，是因為泰勒展開帶來的。（因為等價無窮小代換實質上是泰勒展開式中得來的）
泰勒展開中，sinx=x+o（x）在加減法和乘除法中都可以用【當然sinx還可以繼續展開，視具體情況而定，注意A/B型的要滿足「上下同階」，A-B型的要滿足「冪次最低」】
2樓：Hmnsker
貼乙個這種題的我一般用的標準做法：
首先說明，無窮小型別的題目，泰勒展開比無窮小替換/洛必達強大方便得多，後者基本就是泰勒展開得兩個版本：無窮小替換是低階版本（當然擴充到兩三階也幾乎一樣），洛必達相當於是泰勒展開的迭代版本。
先通分。不要替換！你沒法確定階數。
有了分式，替換分母到最低階，替換分子到分母階數，注意這裡的錯項。
第一步不會錯，如果你這種方法做無窮小錯了，那就是第二部錯了。好好看上面的展開項。
上面其實兩部都有各自的保證，但是有機會再說吧，反正方法肯定沒問題。
3樓：
1°（不）等價無窮小是不完整的，實際上根據麥克勞林，所等價部分是有無窮多項的。
2°以所謂「等價」無窮小的有窮項替代真正等價的無窮項麥克勞林公式進行計算。這種替代不具備等價替代性。
3°在乘式中，以有限項替代無限項後，結果同於真實結果。
4°含除法的式子，能用等價無窮小直接替代。但有條件：用麥克勞林時，取項要使分子分母的最低次的冪函式項齊次。
（誤差就在出現在含除法的式子中。如圖，如果存在誤差ξ，則ξ≧B/D。有人認為誤差出在加減法中的替代，實際上出在含除法的式子中。
）5°在加減式中，常常因為高階無窮小被隱藏，造成不知道這跟誰同階的情況。
如此處，這到底是取二階還是三階（分母3階就取3階）？用等價無窮小，可能看著都是二階。
寫的不嚴謹之處還望雅正。
4樓：雲山亂
兩個圖告訴你正確和錯誤的差別。
錯誤：正確：
所以等價無窮小的唯一正確用法是把整個式子乘上乙個極限為1的式子，然後利用極限的乘法等於乘法的極限。
詳細請參見:
高數常見坑點：等價無窮小 - 杜崑泰的文章 - 知乎 https://
zhuanlan /p/62029838
5樓：啾啾喬
這個要考慮分子分母冪函式的精度。如果分子分母都是乘法，那麼可以隨便換，如果分子或分母是加減法，那麼要用泰勒展式展開到上下同階的最小階數，這是分子分母的冪函式係數之比就是答案。
6樓：暮無井見鈴
等價無窮小替換一般用來求 型的極限。不是這種形式的話容易有問題。
目標是把待求極限的表示式變形成 ，進而得到極限為 ，其中 不全為零。若 全為零則說明當前選擇的 不適合。
不嚴格地說，等價無窮小替換不能直接用在這題的理由是：
原題的表示式是 型。兩項的主要部分都是無窮大，若有極限的話，則無窮大部分相互抵消，得到的極限是有限的低階相減的結果。
而分子、分母中的等價無窮小替換，只保證主要部分不變，而低階部分是可能被改變的。
7樓：此意
你得明白等價無窮小是怎麼來的。
所謂的替換，其實是走了一遍上面的流程，最後的樣子看上去像是直接替換了而已。
所以只有能夠這麼轉換的式子才適用等價無窮小。比如lim內只有乙個連乘式或者只有乙個分式。如果lim內有加減法，就不再適用。
極限運算的時候碰到ln時 有時候對分子用等價替換或者直接洛必達會出錯？
tetradecane 等價無窮小可以替換的前提是，略去的高階無窮小一定不起作用。你這裡用等價無窮小替換之後發現做錯，肯定是高階無窮小起作用了。復合函式不可直接等價無窮小替換，只有嚴格的乘除結構可以直接等價無窮小替換，乘除結構可以保證略去的高階無窮小不起作用。高讚 王希 的回答也解釋得很清楚。括號內...
為什麼數列極限N有時候需要取整加一，有時候不需要？
Ko Kadokura 在數列極限的定義中，規定了N為正整數，之所以這麼規定，只是因為N表示數列的項數，數列的項數一般從1開始，不為0。當然數列極限的實質和前面的有限項並沒什麼關係，你不採用這種主流定義，而規定N可以為0來定義數列極限，完全是正確的也是等價的。假如你堅持N為正整數的定義，那N取 就會...
求極限的替換為什麼不能用？
暮色 題主的問題在於加減不能用等價無窮小，因為 對加減運算不可以等價無窮小，因為精度你沒有學泰勒公式是把握不住的。第二題乘除可以用等價無窮小。同時，還有一種典型的錯解是這樣的，這個錯解的根源在於分開求極限，比如 這個解法過程是分開求極限，這個極限是e,2的極限是2，分開求了極限，但是在這過程中，你用...