1樓：破天學長
有很多同學問我，這萬能公式在有些反常積分中並不適用，顯然，你對此萬能公式理解的太不到位了！我之所以這麼寫是因為這樣已經是比較好用的簡潔歸納了，實際上，為了保證證明的一致性，最為簡潔的反常積分萬能公式，只有乙個即
任意的反常積分（包括瑕積分和無窮區間的反常積分）均可化為，
當且僅當1\end,收斂 " eeimg="1"/>
反常積分的斂散性判別在考研數學中主要是以選擇題的形式出現，但我發現很多同學在遇到較複雜的反常積分，或者含參積分並不會做題，根據現有的教材普遍有定義法、比較審斂法的極限形式等等方法，小題大作，甚至有的同學在看到解析後仍是一頭霧水，如何歸納出簡介快速有效的判斂方法至關重要！有鑑於此，在這裡我們給出乙個關於反常積分的小總結（反常積分斂散性萬能公式），讓你能夠面對反常積分快速判斷出來！
首先給定以下例題進行示例，並比較常規做法，與萬能公式法之間的區別：
1.判別 的斂散性。
2.設 為正整數，則反常積分 的斂散性。
3.設 為常數，若反常 積分 收斂，則 的取值範圍。
4.若反常積分 收斂，則可確定 。
5.設 0,f(x)=\begin\frac}},0,若 收斂，則 的取值範圍。
將任意反常積分化為標準型，
（1）當1\end,收斂 " eeimg="1"/>；
（2）當1 \\[2ex] \alpha=1，\beta>1\end,收斂 " eeimg="1"/>
（3）其他情況均發散！
（注意：此公式推導可參照我的14節課衝刺課，實際上，記住結論即可）1.判別 的斂散性。
萬能公式法：
當時，
，
因,故收斂。2.設 為正整數，則反常積分 的斂散性。
萬能公式法;
當時，有
,
因，0,\frac<1," eeimg="1"/>所以顯然關於的瑕積分收斂；
當時，有
由於,顯然，關於的瑕積分收斂；
綜上所述，任意正整數均使得反常積分收斂。3.設 為常數，若反常積分 收斂，則 的取值範圍。
萬能公式法：
當時，有
若關於的瑕積分收斂，則即-2" eeimg="1"/>；
當時，有
若關於無窮區間的反常積分收斂，則1," eeimg="1"/>即n+1" eeimg="1"/>；
綜上所述，當-2" eeimg="1"/>，n+1" eeimg="1"/>時使得反常積分收斂。4.若反常積分 收斂，則可確定 。
萬能公式法：
當時，有
若關於的瑕積分收斂，則即-1" eeimg="1"/>；
當時，有
若關於的瑕積分收斂，則即-2" eeimg="1"/>；
綜上所述，當-1" eeimg="1"/>，-2" eeimg="1"/>時使得反常積分收斂。5.設 0,f(x)=\begin\frac}},0,若 收斂，則 的取值範圍。
萬能公式法：
當時，有
若關於的瑕積分收斂，則即；
當時，有
若關於無窮區間的反常積分收斂，則1," eeimg="1"/>即3" eeimg="1"/>；
綜上所述，當,3" eeimg="1"/>時使得反常積分收斂。在這裡，我們給出了乙個很好用的萬能公式，那麼是否囊括的足夠全呢？或者說所有的反常積分都適合嗎？
不妨，再給出乙個迥然不同的例子：
6.若反常積分 收斂，求 取值範圍。
（1）當 時，反常積分為 ，發散；
（2）當 時，反常積分為 ，發散；
（3）當 時，反常積分為
a.若 0" eeimg="1"/>,則反常積分 ,收斂；
b.若 ,則反常積分發散。
（4）當時，區間再現，有
a.若 0" eeimg="1"/>,則反常積分 ,收斂；
b.若 ,則反常積分
不存在，發散。
綜上所述，當 0,b" eeimg="1"/>任意時，反常積分收斂。
極簡做法（向無窮級數看齊）：
將其作為連續型的無窮級數看待，則根據無窮級數收斂性質可知，令
時級數收斂的必要條件，因此，當0,b" eeimg="1"/>任意時， ，顯然，此時，級數必收斂，結果易得。
從這裡，我們引出了關於無窮級數的斂散性判別，這又是另乙個萬能公式的開始了！具體請參照14課衝刺課或我的專欄考研數學如何取得145+的分數？！
2樓：momoko
常見反常積分的斂散性：
做道練習驗證一下學習成果：
無窮限的比較審斂法
無界函式的反常積分審斂法
另絕對收斂與條件收斂
通常先去絕對值判斷是否絕對收斂
3樓：薛丁格的貓
針對你所提出的問題，我換個角度解釋，所謂反常積分就是定積分的推廣，因此完全可以從定積分角度分析反常積分，定積分的幾何意義就是曲邊梯形的面積。我們把任意區間（無窮限，無界）分割成兩部分，如果兩部分面積都是有限的，那麼總面積自然是有限的，即反常積分分成的兩部分都收斂，則反常積分收斂。如果有一部分面積無限大，另外一部分面積有限，那麼總面積必然無限大，即反常積分分成的兩部分有一部分發散，另外一部分收斂，則反常積分發散。
如果兩部分面積都無限大，那麼總面積自然無限大，則反常積分發散。
如何證明這個有關反常積分的等式？
靈劍 講點思路好了，不難發現左邊的積分中，f的實際自變數有兩次從 到 右邊只有一次，而對f沒有任何限制，那麼思路肯定是看，這兩次積分疊加在一起，是不是有某種對消的效果？當 時，有 而且正好一正一負，那麼就有 注意我們在換元積分的時候並不把實際的導數算出來，因為我們預計它是會相消的 反過來，我們逆用和...
請問關於這個反常積分的結論如何證明呢？
free光陰似箭 首先，這是廣義p級數的積分判別法。現在我們利用現有的結論來證明這個積分的推廣形式以及斂散性。一，定義幾個符號，約定所有對列舉變數均為正整數 1，調和級數 容易證明這級數是發散的，我們另有 x 是黎曼Zeta函式。H n是調和級數，依p級數判別法，當p 1時級數收斂，收斂到 p 當p...
怎麼算這兩題的斂散性？遇到這種題，步驟是什麼。謝謝 3
予一人 For a sufficiently large it holds that As per Leibniz s test,is convergent.Notice that is certain to be divergent,since it does not satisfy the ne...