1樓：Liberal Boy
積分區域對稱性通常畫圖比較直觀
被積函式可以使用 f(-x,y)=f(x,y) 判斷為關於x的偶函式； f(-x,y)=-f(x,y) 為關於x的奇函式；關於y的判斷方式類似
2樓：
二重積分算的是積分區域和被積函式重合部分的體積，利用積分區域的對稱性和被積函式的奇偶性可以簡化計算。
書上有原話是這麼說的：
若積分區域D關於y軸對稱(比如下面這個半圓形區域)，且被積函式f(x,y)關於x有奇偶性，那麼
2. 若積分區域D關於x軸對稱(比如下面這個半圓形區域)，且被積函式f(x,y)關於y有奇偶性，那麼
積分區域如何判斷被積函式奇偶性的判斷：
若積分區域是關於y軸對稱，我們要判斷x的奇偶性，可以把y看作為常數。
比如說 ，這裡顯然有 ，
那麼 所以 關於 就是奇函式，
又如 ,顯然 ，則 ，所以 關於 就是偶函式。
若積分區域是關於 軸對稱，我們要判斷 的奇偶性，可以把 看作為常數。其他的同理。
以你上面的D：x＋y≤4舉個例子
【栗子】
計算積分 ,其中 .
【分析】要計算這個積分先把積分區域畫出來，草圖如下：
從上圖可以看出，積分區域D關於x軸和y軸均對稱，
再來判斷被積函式， 為關於 的奇函式， 為關於 的奇函式。
所以 = = .
上面那個例子積分區域很容易可以畫出，也比較容易判斷。若是不能直接一眼看出來的要怎麼判斷呢，比如下面這題：
【栗子】
計算,其中 是由 0)" eeimg="1"/>圍成的區域.
【分析】這個積分區域D是關於x軸對稱的，因為
, 在極座標中逆時針測得的 是正的，而順時針方向測得的 是負的。
所以， 在圖形上，由 ， 也在圖形上。
當從增加至時,從減至,而從最大值減少至最小值0（假設我這裡a=1)，當繼續從到時, 從回到,而從增加到，當時曲線開始重複.
所以積分區域畫出來是這樣的：所以
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