1樓：半個馮博士
目前對這個問題解釋得最好的資料在這：
14.7: Change of Variables in Multiple Integrals (Jacobians)圖中中間的式子是變換公式，這裡如果把u,v分別換成r和theta就剛好是極座標變換。
為了要說清楚變換的過程，我們先設 xoy平面裡的乙個向量（注意這裡i,j是一組基向量）：
此時我們來看一下這個圖。左邊 du, dv對應的是乙個很小的矩形，那麼它的面積很好算，就是dv乘以du。現在的問題是：
但當座標變換到右圖的情況時，對應的這個R的面積應該是多少？
這時候我們要注意到乙個問題，r的兩個分量都是和u,v有關的函式，因為我們前面已經設了這個。那麼顯然，此時如果u增加delta u 這麼大，對應的x,y的值都會變化！（注意這一點非常重要）
根據偏導的定義，我們可以得到：
根據上述等式我們可以得出這樣一組近似關係。對這裡的 delta u r 我們這樣解釋：它是向量r由u 變化delta u所改變的量。
清楚這一點之後就很好理解了：向量r在u,v分別變化du,dv之後，可以分別到達兩個新的位置，那麼從原位置到兩個新位置之間，就出現了兩個新的向量，它們剛好是：
從這個圖上其實也就很好理解，uv平面上原來的點在u0,v0處，u增加du後，r就跑到了r(u,v0)處，也就是從r=r(x0,y0)移動到r(u,v0)，而這兩個向量之間就是向量 delta u r_u。對應地，v變化也是類似。
而這兩個向量所構成的新的平行四邊形就是這個樣子：
那麼這兩個新向量所構成的平行四邊形的面積，就剛好是這兩個向量叉積的模。
如此一來，我們就可以代入對應的量進行計算就可以了。對於向量叉積我們有：（注意這裡k是第三個方向的基向量）：
同樣注意到k的模其實是1，因此我們就得到了xoy平面上對應的平行四邊形的面積：
前面用到的那個行列式我們也把它稱作雅可比(或者Jacobian)行列式：
注意，有時候我們也用它的轉置，當然轉不轉置結果都一樣。
到這裡問題其實就已經解決了：此時我們把座標變換寫成極座標變換公式：
那麼它對應的Jacobian行列式剛好就等於r：
所以，當我們把直角座標系下的二重積分轉化成極座標二重積分時就是這個式子：
此外，一般的座標變換通用公式也可以這樣記，如果記住這個公式就非常方便了，可以應對所有座標變換的問題：
二重積分極座標角度範圍確定問題，這道題為什麼角度不能寫四分之七 到2 ？
7758 你剛剛講的那個二重積分在極座標下角度取值按照週期變化為什麼不相等那道題，其實根本就沒必要，我是這麼理解的，週期變化只針對於週期函式的簡化運算其次還要滿足週期函式，但是這根本就是無中生有，如果用極座標簡化出來的式子要滿足角度週期性那必須只能有三角函式，換句話說週期變換在極座標中本就是不成立的...
二重積分的概念？
夕陽武士 二重積分的主要應用就是用來求解各種平面圖形的總面積，由於一些圖形的面積不像規則圖形那樣直接通過公式求出來，但是可以通過積分學的最本質原理 無限分割來求解。二重積分就是將圖形劃分成無數個極其微小的平面，再將這些微小平面的面積加起來就是二重積分。我們當時學的二重積分是將各種不規則圖形劃分成邊長...
請教這道二重積分有哪些好方法？
12 周袁兵 關於泊松公式的證明呢，數學競賽裡採用的是化為曲面積分，再用微元法，不過這種方法給我的感覺總是怪怪的，在吉公尺多維奇上，採用的是曲面積分的換元法 不過我個人覺得最簡單的是化為三重積分，然後先二後一，於我而言三重積分的操作始終比曲面積分來的應手。設平面 其中 為平面 被球面截下部分中心到原...