1樓：12 周袁兵
關於泊松公式的證明呢，數學競賽裡採用的是化為曲面積分，再用微元法，不過這種方法給我的感覺總是怪怪的，在吉公尺多維奇上，採用的是曲面積分的換元法；不過我個人覺得最簡單的是化為三重積分，然後先二後一，於我而言三重積分的操作始終比曲面積分來的應手。
設平面 ,其中 為平面 被球面截下部分中心到原點距離. 用平面 分割球面 ,球面在平 之間的部分形如圓台外表面狀,記為 被積函式在其上為 由於 半徑為 , 半徑的增長率為就是 上下底半徑之差。記圓台外表面斜高為 ，則由微元法知 ，得到 ，所以 的面積為 ，於是
這是競賽題給出的解法
,該矩陣為正交矩陣
所以 所以
該法在吉公尺多維奇上
因此 ,做旋轉變換
,利用三重積分先二後一
2樓：sea
前段時間一直在準備CMC現在考完了（也知道自己多菜了頂多拿個省一）來自問自答一波自己也想到了一種做法
解：置則 ，其中 .
再化為關於x、y的二重積分並結合對稱性有：
其中 置m=x-y，n=x+y，則
於是有其中
接下來直接算就行：
其中 並代入上下限（符號不會打233）結果就是：
至此問題得到了解決。
3樓：Perplexboy
Initially, we deduce easilyNoticing that
where (The proof is left as an exercise. Hint: the orthogonality of trigometric function set.
)Hence
Letthen
note that , , it is easy to knowIntegrating , there isSimply, we get
Replacing by , it turnsThus, we finally obtain
二重積分的概念？
夕陽武士 二重積分的主要應用就是用來求解各種平面圖形的總面積，由於一些圖形的面積不像規則圖形那樣直接通過公式求出來，但是可以通過積分學的最本質原理 無限分割來求解。二重積分就是將圖形劃分成無數個極其微小的平面，再將這些微小平面的面積加起來就是二重積分。我們當時學的二重積分是將各種不規則圖形劃分成邊長...
二重積分極座標角度範圍確定問題，這道題為什麼角度不能寫四分之七 到2 ？
7758 你剛剛講的那個二重積分在極座標下角度取值按照週期變化為什麼不相等那道題，其實根本就沒必要，我是這麼理解的，週期變化只針對於週期函式的簡化運算其次還要滿足週期函式，但是這根本就是無中生有，如果用極座標簡化出來的式子要滿足角度週期性那必須只能有三角函式，換句話說週期變換在極座標中本就是不成立的...
為什麼二重積分極座標變換多乙個r
半個馮博士 目前對這個問題解釋得最好的資料在這 14.7 Change of Variables in Multiple Integrals Jacobians 圖中中間的式子是變換公式，這裡如果把u,v分別換成r和theta就剛好是極座標變換。為了要說清楚變換的過程，我們先設 xoy平面裡的乙個向...