物理競賽，這道題怎麼做，剛體運動學

1樓：黑喵

這道題本身很基礎但是反映了北大怎麼這麼喜歡瞬心？

長三角聯考也考了這個

不是舒老已經退了麼

長三角的卷子出的水平挺高怎麼這次兩道題就抄了上次的對了拋磚引玉一下有人看得懂長三角卷子熱力學函式那道題目的2.2題目在幹什麼嗎

我用駐波條件和德布羅伊關係可以得到相同的結果最後為什麼要在知乎問乙個還沒有結束的考試的題目？

以上都是廢話接下來是正題

這道題目的思路如下：

圓柱體上點的速度是可知的瞬心的位置也是可知的利用速度的極座標分解得到圓柱體點相對瞬心加速度再回到地面系使用加速度疊加（注意這裡並沒有轉動系所以不會出現一堆奇怪的東西）即可得到答案

2樓：一半春休

原本的答案寫錯了，對O點水平運動的設想有些想當然，非常抱歉，會修改這個回答。以質心運動為參考來解決這個問題也是可以的，而且應該是正常的思路。但是因為原來的回答已經用O點為參考點了，所以修改的內容依舊用O作為參考點解決這個問題。

（以剛體內任何一點作轉軸，轉過的角度大小都是一樣的，所以不影響角速度的計算結果。）

以點O為基點，將運動分解為O點的平動和相對O點的轉動。因為初動量是水平方向的，而且水平方向沒有外力，所以質心保持乙個恆定的水平速度運動，速度大小為J/m。

與此同時，因為外力的接觸面有乙個固定角度，所以可以將外力分解為垂直接觸面和平行接觸面兩個力，後者在O點會產生衝量矩，大小為JR/2，這引起了物體繞O點的轉動。

均勻圓盤繞中心O轉動慣量為1/2m'R，轉軸不變，變成半圓盤，轉動慣量為1/4m'R，質量同時減半，m'＝2m。因此半圓柱繞O軸轉動慣量為

I＝1/2mR

衝量矩提供了θ＝0時的角速度

ω＝H/I＝JR/2÷（1/2mR）＝J/（mR）

質心C與O點的距離

可以發現，θ＝0時質心繞O點運動的線速度為

v*＝ωR*＝J/（mR）×4R/（3π）＝4J/（3πm）

那麼θ＝0時O點的水平速度就是質心的速度與線速度之差

v＝（1-4/（3π））J/m

θ＝0時，繞O轉動的能量E1＝1/2ωI＝1/4J/m

平動的能量為E2＝1/2mv＝J/（2m）×（1-4/（3π））

E總＝E1+E2

那麼物體的運動狀態是週期性的擺動。當θ＝0的時候物體擁有最大的角動量和能量，在θ增大的過程中重力做負功，使轉動的能量轉變為重力勢能，直至物體到達最高點，然後在重力矩作用下折返。這個過程中O點的水平速度也在不斷變化，當轉到最高點時O的水平速度最大。

按照這個思路，我們可以算出物體轉至θ角時所具有的能量，然後用E總與之做差，差值就是重力所做的功，通過能量守恆解出角速度。這時求出的角速度是θ的函式，該式對t求導就是角加速度，求導方式是d/dθ dθ/dt，也就是ω先對θ求導，再乘以ω，因為dθ/dt就是剛剛求出的角速度表示式，直接乘就可以了。

關於第二問，物體內任何乙個點包括瞬心的運動都是由與O相同速度的平動和繞O點的轉動組成的，所以瞬心就是繞O點的轉動速度剛好與平動速度抵消的點，這個點一定會在過O的豎直線上，也沒有豎直方向的加速度。

當J/m－ω'4R/（3π）＝ω'R'時，

R'＝J/［ω'm（1+4R/（3π））］

ax＝βR'＝βJ/［ω'm（1+4R/（3π））］

此為問題2的結果，瞬心在O點上方。

旋轉θ角後，重力勢能增量為

4/（3π）mgR（1-cosθ）

依據能量守恆，轉至θ角時有

1/2ωI+1/2m（J/m-ω'4R/（3π））＝［E總－4/（3π）mgR（1-cosθ）］

通過上式求出ω並對t求導得到結果

3樓：Zj2021

北大考試？

質心水平速度由初始衝量提供後面不變，豎直方向與角速度有乙個方程，再列乙個能量守恆可以解出來。順心在o點正上方，後面基本都是求導操作（至少我是這麼做的...）