1樓：keghost
設△ABC滿足題設，且∠B=60°=π/3，
設三個角最小角為∠A，則有a＜b＜c
設b=na，c=ma，則m＞n＞1，m、n均為有理數。
由餘弦定理，a+c-b=2ac.cosB
(2m-1)-(2n)=3。此方程為雙曲線L
注意，正三角形是此方程的乙個解，即m=n=1，A(1，1)是曲線上一點。
則曲線上m、n均為大於1的有理數的其他點P(m，n)與點A(1，1)的直線斜率k應為有理數或無窮大。
則直線AP方程為n-1=k(m-1)，n=k(m-1)+1，
帶入曲線L方程，化簡有
(m-1)((m-(k-2k)/(k-1))=0，
m＞1，故m=(k-2k)/(k-1)，則n=(-k+k-1)/(k-1)。
m＞n＞1且為有理數，可求得k是(0.5，1)區間的有理數。
1:n:m=(1-k):(k-k+1):(2k-k)
設k=p/q，p、q互質，則0.5q＜p＜q，
則1:n:m=(q-p):(q-pq+p):(2pq-p)，
求出(q-p)、(q-pq+p)、(2pq-p)的最大公倍數t，
則(a，b，c)=(d(q-p)/t，d(q-pq+p)/t，d(2pq-p)/t)，p、q為互質正整數且0.5q＜p＜q，t為(q-p)、(q-pq+p)、(2pq-p)的最大公倍數，d為正整數。
k=2/3，(5/9):(7/9):(8/9)=5:7:8
k=3/4，(7/16):(13/16):(15/16)=7:13:15
k=3/5，(16/25):(19/25):(21/25)=16:19:21
k=4/5，(9/25):(14/25):(24/25)=9:14:24
k=5/6，(11/36):(31/36):(35/36)=11:31:35
k=4/7，(33/49):(37/49):(40/49)=33:37:40
k=5/7，(24/49):(39/49):(45/49)=8:13:15
k=6/7，(13/49):(43/49):(48/49)=13:43:48
k=5/8，(39/64):(49/64):(55/49)=39:49:55
k=7/8，(15/64):(57/64):(63/49)=5:19:21
k=5/9，(56/81):(61/81):(65/81)=56:61:65
k=7/9，(16/81):(67/81):(77/81)=16:67:77
k=8/9，(17/81):(73/81):(80/81)=17:73:80
2樓：
在 中， ，
對應 ， 對應 ， 對應 .
由餘弦定理得，
,所以可得
,經過變換可得
可以想到， 是橢圓 上的有理點.
設為任意有理數，直線 與 的交點為有理點，
所以可得
,或 ,
即， 就是要找的橢圓 上的有理點.
又因為 0" eeimg="1"/>,所以 .
（p.s: 這些有理點關於y軸對稱， k取任意小於0的有理數）
對於 , ,
都 使得直線 與橢圓 交於和 .
又因為有理數對於四則運算的封閉性， 為有理數，它們所對應的 亦為有理數.
所以除了 以外，橢圓 上的有理點都可以表示成
.最後令 ,
然後選擇適當有理數 使得 都是整數，
,p.s: 因為 0" eeimg="1"/>,所以 0" eeimg="1"/>,
又因為 0" eeimg="1"/>,所以 ,
綜上，取 0, k\in Q, p\in Q." eeimg="1"/>
eg.最後 這種情形不滿足題意。遂捨去。
19/12/25
p.s：這是19年夏天寫的，後來回看的時候總感覺有點瑕疵，驗算了等邊三角形的情形發現特例遂補上。
延申一下，三角形中，存在乙個內角 ，有 , .
， .三邊長度均為整數的三角形都可以解.
經過適當的變換將 變為即
所以我們可以把這個題變為找橢圓上的有理點的問題了，
即為橢圓 上的有理點，
在這裡要設的直線仍然是
直線與橢圓的交點即為要找的有理點.
經過簡單代換得，
接下來令
選取合適的有理數 ,令
這裡 ， 0" eeimg="1"/>, , .
只要滿足上面的取值條件的三角形的三邊即可均為整數.
現在再去求解有且只有乙個內角是60°的三角形.,,
,., 0" eeimg="1"/>, .
當 ， ,剔除.
特別的當三角形為直角三角形時，
此時 勾股弦數就可以通過上面的條件任取.
e.g , ,
我很享受這種頭腦處於這種縝密思考中感覺，無論對錯與否過程總是讓人愉悅。
i hope u enjoy the feel.
3樓：cyb醬
設三條邊
然後化為
設 這樣一來，由於要求所有整數解
這些整數解均對應（不是一一對應，後面會說明） 的有理數解
這是我們熟悉的二次型了，但我們盡量用高中範圍的知識回答~
注意到如果令
可以反解出 ，而且更好的是
這個變換是 的一一對應
每個有理數組一一對應另一邊的乙個有理數組，換而言之
解方程 不會產生額外的解，也不會平白無故少一些解
你發現，這不就是乙個橢圓嘛
現在這個問題變成了，如何求橢圓上的有理點（橫縱座標都是有理數）
讓p為縱軸，q為橫軸（我才不會告訴你我開始時弄反了）！
但是不要慌張~首先看看有什麼你認識的有理點已經在上面了
喵！你發現了 就是橢圓的上頂點正好就是乙個有理點！
下面是最神奇的一步，過 作一條直線
而且我們要讓裡面的 是乙個有理數！
按照傳統，先分析斜率為 或斜率不存在的情況~
發現很特殊的， 對應 處的切線
然後斜率不存在對應 也就是下頂點
接下來就是最重要的結論了：
下面我們來證明這個定理：
第一步是說明 是有理數時為什麼對應橢圓上的有理點呢？
答案是聯立 求出另乙個交點
顯然就是乙個有理點嘛
其他兩種情況自然對應了上面的(ii)和(iii)
第二步就是說明有理點為什麼對應這三種情況？
注意到如果 是乙個有理點，與 連線
斜率 就是乙個有理數
除了連線垂直橫軸沒斜率的
還有連不出線的兩個重合的點
正好對應(i)(ii)(iii)得證
定理得證了就好辦了，回到原問題
(x,y)\\(-2,0)->(-1,-1)\\(2,0)->(1,1)\\ (\frac,\frac)->(\frac,\frac)" eeimg="1"/>
記 這樣可以把三種情況放到一起
m=0\\k=\infty->n=0" eeimg="1"/>
對應回去就是
其中 是乙個有理數使得上述三者均為整數，且
最後再檢驗一下是否都是正的就可以了（當然還有的就是含有鈍角 或者正三角形）
接下來是一些有關的數論內容
，不妨設
那麼最大公約數
如果 那麼上式
如果 都是奇數，最大公約數就是
如果 一奇一偶，最大公約數就是
如果 ，用 替代之
注意到 否則 1" eeimg="1"/>
也就是說 在不同情況下得到本原解，就是三者互質的解
讓我們帶入一些 玩~
(7,15,13)\\ (1,3)->(5,8,7)\\ (3,2)->(-3,5,7)\\ (2,3)->(11,35,31)\\ (3,5)->(3,8,7)" eeimg="1"/>
這裡要說明一下：帶入兩個負數等價於都取相反數，帶入一負一正等價於交換
等價於等邊三角形， 等價於
所以只考慮都是互質的正整數的情況
讓我們再回到代數角度看看這些解
注意到每乙個 都可以得到一組 ，上下約分化成最簡分數
如果 不同得到的本原解也是不同的，
如果相同，本原解也是相同或相反數的關係
我們考察 兩個不同的
什麼時候出現 ，什麼時候出現
第一條式子求出來
也就是說 為互質的正整數的時候，求出來的本原解都是不同的
不過第二條式子解出來 的時候你會發現一組 互換過來的本原解……
比如說 (5,8,7)\\ (9,1)->(-8,-5,7)" eeimg="1"/>
<--好漂亮的正方形呀~
PS:1)感興趣的童鞋可以了解代數數論，以及像 的神奇高階魔法
2)這種手段可以拓展，用來解決已經知道乙個有理點的二次曲線上的所有有理點的問題
3)這門技術在研究三階曲線，也就是常說的橢圓曲線裡面裡面非常有用！只不過三次方程，你要知道兩個有理點才能加出第三個……
4樓：大魔導師
也就是求 的整數解
改寫為考慮恒等式
令 兩邊取模的平方則有令得
其中 ,當然大家同時乘以乙個整數也還滿足條件如果 同號,那麼直接取絕對值即可
如果 異號,那就抱歉了,這時候是有個內角為當然,我並沒有證明它是基本通解,你可以看到它和勾股方程通解差不多
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