1樓：本質教育李澤宇
排列組合在高中是非常重要的一章（哪怕高考考得不多），因為這一章是概率論的基礎。
而概率論，無論同學們以後從事什麼職業，都是非常有用的乙個學問。
事實上，排列組合這一章很多同學都抱怨很困難，特別容易出錯。
出現這個問題的原因很大程度上是現有的很多教材在描述加法原理和乘法原理（特別是後者）是有問題的，因此導致同學們在沒有滿足適用條件的情況下胡亂使用這兩個原理，從而導致解題錯誤。
不信？先解幾道題吧：
1. 有4位學生各寫一張賀卡，放在一起，然後每人從中取出一張，但不能取自己寫的那一張賀卡，不同的取法有（）種？
A. 9
B. 12
C. 16
D. 24
2．（2017浙江高考）從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有種不同的選法．（用數字作答）
3. （2010天津高考）如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F六個點塗色，要求每個點塗一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點塗不同顏色，則不同的塗色方法用（ ）
A．288種 B．264種 C．240種 D．168種
答案分別為：
A2. 660
3. B
你做對了嗎？
在講解這幾題之前，我們先把加法和乘法原理好好解釋清楚：
無論是加法原理(additionprinciple)還是乘法原理(multiplicationprinciple)都是計數法(countingmethod)的基本原理。
計數法，顧名思義，就是基本的數數– 我們一開始接觸數學就知道的事情。
例如，下圖有多少個圓？
我希望同學們別忘了這個幼兒園孩子也會的計數法：
當計數量不大的時候，我們可以把每乙個元素寫下來，像個孩子一樣去數數。
當計數量很大，這時乙個乙個乙個的數顯然不現實（當然，可以程式設計交給計算機），因此我們需要加法原則和乘法原則，乃至更多的計數法定理的幫助。
加法原則(Addition Principle):
因此在求解計數問題的時候，運用我們的第三招「盯住目標」聯想到加法原理，記住核心就是分類。
現在我們來回過頭來看看第一題：
1. 有4位學生各寫一張賀卡，放在一起，然後每人從中取出一張，但不能取自己寫的那一張賀卡，不同的取法有（）種？
A. 9
B. 12
C. 16
D. 24
以此類推
這個表實際上就是乙個反覆分類的過程，分類的過程中我們保證了無遺漏，無重疊，最後我們有9種分配方法。
這是乙個很好的考察加法原理的題目，關鍵就在於考察考生是否理解了加法原理和乘法原理的核心就是分類。
如果你做錯了，好好分析為什麼做出了，你滿足了使用加法原理的條件了嗎？
接下來我們來看乘法原理(Multiplication Principle):
我接下來用兩個例子來闡明這種描述的問題：
我們直接套用上面描述的乘法原理：
第1步：取第1個球，有4種方法
第2步：取第2個球，由於剩下3個球，有3種方法
第3步：取第3個球，由於剩下2個球，有2種方法
因此總共有：種方法，即24種不同的「排」。
這個答案是正確的，我們接著看例2
我們做這件事情的方法還是一樣的呀：
第1步：取第1個球，有4種方法
第2步：取第2個球，由於剩下3個球，有3種方法
第3步：取第3個球，由於剩下2個球，有2種方法
因此總共有：種方法，即24種不同的「堆」。
這個答案明顯是錯誤的，最起碼的，由於不考慮順序，「堆」的種類一定比「排」的種類要少，而不可能相等。
那麼這種解法錯在哪兒？
我們一字不差的使用教科書上的乘法原理呀？
事實上，同學們要記做，在數學上，乘法就是加法來定義的法則，即乘法就是加法。例如+3
因此，在我們使用乘法原理的時候，事實上也是乙個分類的過程，而這兩個條件
無遺留無重疊也必須要滿足，這是使用乘法原理的前提！
這就是很多同學在使用乘法原理的時候經常出錯的原因所在，不怪你們，教科書的編排是有問題的。
我們用這兩個例子說明：
在使用乘法原理的時候，我們實際上是在分類– 我們把「排」和「堆」分類
「第一步有4種方法」實際上就是說，我們把「排」和「堆」分成4類，如下圖
理解了乘法原理的使用條件，我們接下來可以看看後面兩道高考題：
2．（2017浙江高考）從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有種不同的選法．（用數字作答）
思路：首先仍然是第一招翻譯：
而目標是求不同選法的個數– 即計數問題。
利用第三招，盯住目標，聯想加法原理或乘法原理。而無論是用加法原理還是乘法原理，核心都是分類，這題的條件之一就是服務隊至少有1名女生，我們由此入手分類：
第一類：服務隊有且僅有1個女生
第二類：服務隊有且僅有2個女生
這兩類包含了滿足條件的所有情況（無遺漏），而且這兩類之間無交集（無重疊），因此我們可以利用加法原理。
對於第一類，我們可以先選服務隊的女生，由於女生不同服務隊一定不同（無論剩下的男生如何選），因此一定是不同的選法，我們復合無重疊的條件，因此可以使用乘法原理：
因此根據加法原理，兩類一共660種方法。
你做對了嗎？如果做錯了，好好分析為什麼做出了，你滿足了使用加法原理和乘法原理的兩個條件了嗎？
3. （2010天津高考）如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F六個點塗色，要求每個點塗一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點塗不同顏色，則不同的塗色方法用（ ）
思路： 這題可以有至少3種不同的解法，因為篇幅的關係，我這裡寫一種和標準答案不同的。
你做對了嗎？如果做錯了，好好分析為什麼做出了，你滿足了使用加法原理和乘法原理的兩個條件了嗎？
我希望通過這篇文章，說清楚加法原理和乘法原理的使用條件，現有的教材如果沒有說清楚的建議修改，從此以後同學們不應該再有做錯的排列組合題目。
這道排列組合該如何思考？
cyb醬 提供乙個手工解決問題的簡單思路 其實只要計算十多次加法 x 假設 要寫成 型的和，很容易發現如果令 會發現 相等，而 時的方法數是不變的，即與 無關這是因為 最後的餘數不可能使用 拼湊，只能是 個因此不妨設 的方法數為 然後我們來證明 這裡 證明其實非常簡單 時候的配湊方法分成不相交的兩類...
排列組合是什麼？
YDkey 顧名思義，兩個需要拆開來理解。舉乙個例子。現在有a b c d四個英文本母 我們要任意取兩個字母進行排列，這個 排列是什麼呢？就是我們從adcd這四個英文本母中，任意取的兩個數，將 他們兩個在一起讀 但是 讀 的話就產生了乙個問題，比如我從adcd中選擇ab兩個字母來讀，ab就是一種排列...
求助乙個排列組合的問題？
王箏 用了另外乙個演算法。首先看分母，是所有連線的方法，每一步取出兩個繩頭連起來，所以是C 2 12乘到C 2 2，但是注意到與順序無關，所以要除掉6 所以算出來是11 然後分子是6個東西連成一圈的種類數，首先全排列成6 但是起點是任意的，要除掉6，然後正反兩面是任意的，要除掉2，每個繩子有兩種方向...