1樓：cvgmt
因為根據祖沖之兒子的定理，我們有
初等行變換不但不改變行列式的值，也不改變矩陣對應向量張成的平行多面體的體積。
於是，最後，我們只要針對正交單位向量張成的方陣的體積為 1 ，這正好也與行列式的定義一樣。證明完畢。
2樓：mcxzx
這就是混合積。
我們假設該 矩陣是 n 維矩陣：
本文使用張量語言，希臘指標為具體指標可以取 ，拉丁指標為抽象指標代表其張量性，上下重複指標代表從 求和或縮並。 代表列維-奇維塔全反對稱符號，其非零分量為 。 代表體元，列維-奇維塔張量，和全反對稱符號的分量只差乙個實數：
，其中 是度規 在當前座標系分量矩陣的行列式。在正交歸一座標係中度規行列式就是 (只考慮度規正定的情況)，此時全反稱符號與體元分量相同。
首先：有行列式的協變定義：
此定義不會隨座標變換而變換。但在正交歸一基底下，我們可以繼續簡化：
最後的結果就是你可以在維基上搜到的行列式定義
如果我們把該矩陣的第m列 看作是第 μ 個向量，簡記為： ，那麼我們可以繼續得到其更深層意義：
我們再簡化記號： (這也是向量混合積的常用符號)
首先，該符號具有線性性(張量的性質)：
該符號還具有反對稱性(由於張量反對稱)：
由此還可推出當該符號中存在兩個同樣的向量時符號得出的數為0(對稱和反對稱縮並為0)：
以及"單位"性：當有一組正交歸一基矢 (滿足 ，為單位矩陣)時，
利用線性性，讓 (此處不求和)
那麼 ，就是新向量張成的正交平行2n胞體(矩形，長方體推廣)的有向測度。
可以發現，這些滿足求由這些向量組成的平行2n胞體(平行四邊形，平行六面體的推廣)的有向測度(面積，體積的推廣)函式的要求：
乘上某實數 的線性性代表對某條邊伸縮 倍，其有向測度當然也隨其變大 倍
有向測度的"有向"就是強調定向的問題，交換反對稱性就代表改變定向，有向測度自然相反。
同樣的向量則代表該平行2n胞體有2條邊方向相同，因此無法張成乙個真正的平行2n胞體，而是更低維數的物體，自然其有向測度就為0
而正交歸一的一組基底矢則會張成乙個邊長為1的正方體，其高維測度自然應該為1。
此外，我們還可以得到該符號的剪下不變性：
其對應的意義在平行四邊形上就是：
不改變底與高，自然不改變其面積。
從這些性質，不難得出它就是代表被作用向量張成的平行2n胞體的有向測度(提供乙個證明思路：通過剪下不變性將被作用向量正交化)，由此一步步向上推，就可以得到方陣列的向量張成的平行2n胞體的有向測度就是其行列式。又由於行列式定義式的一些對稱性，也不難得出方陣行的對偶向量張成的平行2n胞體的有向測度也是該矩陣的行列式。
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