怎樣理解函式列的子列？

1樓：楊樹森

有關函式列的理論幾乎是數學分析裡最難入門的，而且很多教材顯得沒有責任心，過分強調函式項級數這種表達函式列的具體方法，更讓人理解不了函式列的內涵。我們講函式列用那麼大的篇幅，可以說都是為了讓人不要把函式列理解成函式值的序列。

首先，很多人沒有正確認識函式，不能辨析函式和函式值，導致無法理解函式列，這同樣有教材的責任。函式是指的對映，其中是數集。當我們說函式時，所謂的函式不是或而是在一開始可能覺得這樣理解很抽象，但是必須逐漸適應。

明確了什麼是函式之後，再說明什麼是函式列。所謂的數列是的對映，將上的全體函式構成的集合記為那麼所謂的函式列就是的對映。

數列的乙個子列是指其中是上的乙個單調遞增的數列。類似地，函式列的乙個子列是指其中是上的乙個單調遞增的數列。

不論是引入數列還是函式列，都是為了描述收斂性。收斂性的本質是序列的收斂性。將函式極限描述為當時其實就是任取的空心鄰域上的收斂於的數列成立數列收斂於當然，這就是海涅定理。

為什麼要引入子列呢？其實是為了描述度量空間上緊性的充要條件。在拓撲學中，所謂乙個拓撲空間是緊空間，是指任取的乙個開子集族當時，存在的乙個有限子族使得

緊性在連續對映中保持不變，即緊空間上的連續對映的值域也一定是緊空間，這就是緊性的意義。上述緊空間的定義有利於拓撲學的敘述，但是不適合實際場合中的使用。

在度量空間中，由於極限的唯一性，存在緊性的乙個充要條件。度量空間是緊空間的充要條件是任取上的乙個序列存在和的乙個子列使得

對於乙個數集，它是緊集的充要條件是它是有界閉集，而數集是閉集保證了其上的每個收斂數列的極限都屬於這個數集，這樣就可以理解有界數列必有收斂子列。

接下來描述閉區間上的連續函式空間它作為線性空間，對於定義

於是它是乙個度量空間，並且上的序列的收斂就是函式列的一致收斂。由此可見，不能用函式列的點態收斂理解函式列在函式空間中的收斂。作為例子，取上的連續函式列

則它是點態收斂的，且點態收斂下的極限不是連續函式，但是它不是一致收斂的，作為連續函式空間上的函式列，也確實不是收斂的，因為對於任意成立

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函式空間作為度量空間，使得的子空間的緊性是有意義的，且的子空間是緊空間的充要條件是對於任意上的序列存在和的乙個子列使得理解子列是用來處理什麼問題的，就會接受它的抽象。