1樓：
樸正歡的答案言簡意賅。在初等數學的範疇內，鄙人通過證明正17邊形可尺規作圖的思路說明一下（原始出處：奇蹟！正十七邊形的尺規作圖 16樓）。
證明：設正17邊形的一條邊對應的中心角為a, 則17a = 2pi, 即16a = 2pi - a.
故sin(16a) = -sin(a)
而sin(16a) = 2sin(8a)cos(8a) = 4sin(4a)cos(4a)cos(8a) = 16sin(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a),
故 -sin(a) = 16sin(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a).
因 sin(a) 不為0,
故16cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a) = -1
用余弦函式積化和差公式進行迭代,有:
2(cos(a) + cos(2acos(8a)) = -1
令 x = cos(a) + cos(2a) + cos(4a) + cos(8a)
y = cos(3a) + cos(5a) + cos(6a) + cos(7a)
則: x + y = -1/2
xy = (cos(a) + cos(2a) + cos(4a) + cos(8a))(cos(3a) + cos(5a) + cos(6a) + cos(7a))
對xy進行展開, 積化和差, 再利用週期性合併同類項, 有:
xy = (1/2)(4cos(a) + 4cos(2a4cos(8a) )
即xy = -1
聯立方程組, 得:
x = (-1 + 根號17) / 4
y = (-1 - 根號17) / 4
再設x1 = cos(a) + cos(4a), x2 = cos(2a) + cos(8a)
y1 = cos(3a) + cos(5a), y2 = cos(6a) + cos(7a)
積化和差, 再利用 2(cos(a) + cos(2acos(8a)) = -1 有:
x1x2 = -1/4
y1y2 = -1/4
故同法可解x1, x2, y1, y2:
x1 = (-1 + 根號17 + 根號2 * 根號(17 - 根號17)) / 8
x2 = (-1 + 根號17 - 根號2 * 根號(17 - 根號17)) / 8
y1 = (-1 - 根號17 + 根號2 * 根號(17 + 根號17)) / 8
y2 = (-1 - 根號17 - 根號2 * 根號(17 + 根號17)) / 8
最後, 由
cos(a) + cos(4a) = x1
2cos(a)cos(4a) = y1
可求cos(a)之表示式:
結論：通過直觀觀察，我們可以看出，邊數為費馬素數的多邊形，套用上述演算法才有效，才能得出「由整數經過加、減、乘、除、開平方構成的」三角函式值。
2樓：樸正歡
確切地說是邊數為 2的冪與費馬素數之積的正多邊形可用尺規作圖首先, 作正n邊形等同於在復平面上作n次單位根使用圓規和直尺相當於分別在平面上構造二次方程和一次方程，反覆使用尺規即在平面反覆巢狀和這兩種方程並求解的過程，因此可以用尺規作圖的數是最高次數為2的冪且在Q中不可分解的多項式的根
且對任意可構造的數構成的域K，，即K作為Q上的線性空間維度為2的冪由n次單位根的定義易知其在Q上的維度是, 事實上它們是的根而的數是 2的冪與費馬素數之積
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