1樓：「已登出」
數論中的類域論有提及，大體上就是關係到複數域中的「素數」問題，具體可以看看數論的書，推薦《數論1 Fermat的夢想和類域論》。
（假裝我會
2樓：今夕何夕
2023年一月份中等數學上剛好有這個證明，提供了拉格朗日的證明，察基爾變換，還有個人最喜歡的閔可夫斯基證明三種證法，明晚來搬給題主（手動斜眼笑）
直接上圖
3樓：Mira
提供乙個比較初等的證明，不記得哪看的了，不過應該算是挺經典的。
定理一， 對於所有模4餘1的素數p，。
定理二， 如果 ，
那麼 。
由定理一得
如果 由定理二得， 且
不斷重複，可得到嚴格遞減正整數數列 必然可得到 ,此時p被表示成兩整數平方之和。證畢。
定理一的證明：學過二次剩餘了話，這是很明顯的。我想想有沒有其他證明。
假設不存在這樣的x使得 。
考慮集合
,如果 ,那麼
但是 , 不可能整除任意乙個數，而它又是素數，矛盾了。
因此 中的元素模p的餘數互不相同。
裡的元素不整除p，所以模p的餘數只有p-1種可能。
因此，有且僅有乙個 使得
根據假設 ,否則
設 ,顯然
因此模等式中 有一半是重複的。
去除重複的，剩下 個等式。
將所有剩下的模等式乘起來，左邊包括所有R中的元素再考慮
如果 ，
如果 ， ，不可能整除任意乙個數，而它又是素數，所以無解。
同理，對於所有 但 ,有且僅有乙個 使得 且令 ，顯然 。
模等式 中有一半是重複的。
去除重複的，剩下 個等式。
將它們乘起來，左邊包括所有R中除1和-1的元素( 是奇數）
矛盾了。
p.s.我覺得我這個證的亂七八糟的，有人看懂了嗎_(□`」 ∠)_定理二的證明：
......
將a,b 除以m，那便有x，y使得：
設 ......
將 式乘以 式，
，設 。
，設 。
於是 （如果u,v是負的，換成其相反數不影響結果）接下來只需證明
如果 矛盾。
所以 0" eeimg="1"/>
定理二證明完畢。
4樓：一罐魚
假設這個命題是成立的：任意域 乘法群 的有限子群是迴圈的.
假設素數 ，那麼根據剛剛成立的命題， 有4階元素，設為 ，那麼
成立.於是在 中，有整除關係 .若 是素數，那麼 必然整除其中乙個因子，但 意味著這是不成立的.
於是 不是中的素數，故 且 不是中的單位.於是 ，這個等式是中的，故 .假設 ，那麼找到了 .
5樓：職業數學家在民間
這些素數，在虛二次域z[i]上，就分解成兩個素理想乘積了，而虛二次域z[i] 是主理想整環。所以這些素數可以分解成兩個共軛高斯數乘積。
Neukirch關於代數數論的經典教材第1章，第1節就是講這個問題。
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