1樓：茂恩
數學中關於點的定義其實非常模糊甚至於說是矛盾的，可以說數學世界中的點並沒有被賦予幾何定義 ，也正是由此（點無大小，即不存在以及絕對的確定性）造成許多數學上的幾何問題。
2樓：腳趾頭
點、線、面在各種幾何公理上都沒有定義……
所以點可以是任何東西。只要你給出的解釋符合公理。
比如用實數來解釋幾何，我們可以用方程來表示乙個點，一條線，乙個面。
可以用集合來解釋幾何，我們可以用座標的集合來表示乙個點，一條線，乙個面。
當然我們還可以用乙個蘋果來表示乙個點（其實不可以，因為蘋果是最多是可數的）……
為毛點、線、面沒有定義呢？
比如正三角形：三邊長相等的三角形；
下一級定義
三角形：由三條線段組成的閉合圖形。
再下一級定義：
線段：兩個不同的點組成的無序對
ok，這裡的點可以說就是「底層居民」，不能再定義下去了。
我們能夠一直定義下去嗎？肯定是會有盡頭的。這個基本的「東西」，稱作公理系統的基本物件。
比如說集合論的基本物件是「集合」
幾何的基本物件是「點」、「線」、「面」
實數理論的物件是「實數」
皮亞諾算數公理的基本物件是「自然數」
群論的基本物件是「元」
等等……
基本物件都是沒有定義的，當然，你也可以不把它們稱作「點，線，面」。
公理本身是形式化的東西，沒有任何意義，任何乙個定理都是乙個字串罷了。
但是我們可以賦予這些字串真假、意義。方程是「線」，說得過去，那就是「線」的實際意義了。
3樓：古輪木的拖拉機
非常容易理解的，點是集合裡的乙個元素，那麼線就是該集合，我們可以認為線是點的乙個無窮集合，那麼每條線都可以認為是點的乙個無窮集，當我們比較兩條線的長度時候，即在比較他們之間元素的個數。也就是無窮與無窮的比較。
通俗的說，在解釋無窮的時候，有乙個經典的關於旅店房間的例子，我不細說這個是常識，這個例子既解釋了無窮，也說明了無窮和無窮之間是可以比較的，比如實數的個數就大於整數的個數，但是這不直覺上的，而是經過嚴密證明的，例如，反直覺的，有理數的個數與正整數的個數就相等，因為這兩個集合可以認為是等勢的。同理，當我們建立起兩條直線的對映時，也可以比較兩個無窮點集合的大小，這就是長度的比較。但這個長度具體是多少，這個要分情況而定，比如數軸上從原點到（1,0）的距離，在不同的測度下，他的長度也不一樣，我們樸素的定義了其長度在勒貝格測度下的長度為1，則從此處可以推斷任意可數無窮集合所對映的直線的長度，以上就是長度的定義。
至於你說為什麼要用圓形的點要代替點這個東西，因為點在幾何上是不存在實形的，點只是一種數學模型。你的想法很有意思，你說為什麼要用乙個型別圓的東西代替點，用乙個類似矩形的東西代替線。其實這種直覺即使在非數學上也是不嚴謹的，按照你的理解傾向，圓應該是可以水平密鋪成乙個矩形的，就如同點在水平上形成直線，所以，如果要對乙個小學生說點這個概念的時候，可以物化點為乙個具體的圖形，但絕對不是圓，你應該告訴他，點是乙個小矩形，小矩形水平排列形成了線，線在平面上密鋪形成了圖形。
這在直覺上更有美感。
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