1樓：
數學上，向量定義為向量空間（即線性空間）的元素。
給定域F，F上的向量空間V是乙個集合，若在其上定義有兩種二元運算：加法運算+:V × V → V和數乘運算·:
F × V → V，滿足以下八條性質(前四條是加法性質，中間兩條是數乘性質，後兩條是兩種運算間的性質):
1） 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
V中的元素就稱為向量，相對地，F中的元素稱為標量[1]。
這種定義是抽象的，任何滿足線性空間性質的集合裡的元素都可以看做向量。
比如，最高次數小於等於3的關於 的多項式 組成的集合。
1、線性代數中用一組數表示向量，是某種特例嗎？
大學裡的線性代數中，主要考慮的是有限維線性空間。 的確只是其一種特例。但是，可以證明，任何域 上的n維線性空間都和 同構（後面線性空間都指域R上的線性空間）。
因此，在 上得到的關於線性空間的結論也適用於抽象的向量(比如一定存在一組基)。
2、所有向量都可以用一組一維數表示嗎？
前面說了有限維線性空間一定和乙個 同構，只要找到一組基即可。因此對於有限維來說這件事是成立的。
但對於無限維的線性空間，比如希爾伯特空間，則不能用一組有限的數來表示。
3、如果刨除座標系的概念，那向量又該怎麼表示？
座標系的引入主要是為了引入一組基向量，事實上，向量的表達不需要借助「座標系」，只需要給定其中的一組基 即可，則空間中任意向量都可表達為
4、還是說乙個n維向量，必然存在於n維空間內，精確的數學表示只能用1*n維數字表示？
向量的定義本來就是向量空間的元素。我想題主的n維空間指的就是 ，想問的就是問題2。再說一遍， 和任意n維向量空間同構，因此給定一組基，向量空間裡的元素就可以用 裡的元素來表示。
後半問...有點民科的味道，請定義什麼是精確的數學表示。
5、尤其是方向性怎麼定義？
單純的向量空間裡沒有方向。定義方向性需要內積。
內積是向量空間上的雙線性函式 ，並且要滿足正定型和對稱性，具體參見高代教材或維基[2]。
上，內積一般定義為
定義了內積的線性空間叫做歐幾里得空間。 就是乙個歐幾里得空間。
有了內積，就可以定義夾角：
因此就有了方向性。
中學物理或工程上常說有大小有方向的量就叫向量，其實這只是形象化的說法，不夠嚴格，這和數學上的定義是有區別的。
Reference：
[1]向量空間-維基百科
[2]數量積-維基百科
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%82%B9%E7%A7%AF#參見
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