1樓：陳定學
不是悖論。」0.999……=1」的證明是無效的，因為」0.
999……」並不是乙個有理數，依據是：」不存在兩個有理數相除商為0.999……的有理數」。
既然0.999不是有理數(比例數)，那麼證明中出現的10х-х=9х=9的證明過程就是無效的，因為只有0.999…是乙個有理數時，才能得出10х-х=9這個計算值。
2樓：嶽耀
沒有悖論。「1不是0.999...
」，但是「1=0.999...」。
問題就出在，「等於」和「是」是完全不同的概念。「等於」對應於量或者值，而「是」對應於質。比如，「1+1=2」是指等式左邊和右邊表示式的值相等，「1+1」和「2」這兩個表示式本身並不相等（乙個包含兩個數字和乙個運算子，乙個只包含乙個數字），所以不能說「1+1 是 2」。
1和0.999...的表示形式也不同，因此也不能說「1是0.
999...」，雖然「1=0.999...
」以下內容摘來我的更乙個帖子：
「等於」和「是」是完全不同的概念：
「A等於B」指的是A和B對應的某個量相等。比如在通常的意義下線段 AB = CD 絕不是說線段 AB 是線段 CD。這個相等的意思是線段 AB 與線段 CD 長度相等，而長度正是線段對應的乙個量。
因此，這裡的相等並不包括絕對位置的相等，也不包括方向的相等。而兩個向量相等，則又加上了方向的相等。
「A是B」則有兩種指向（假設A和B都是名詞性的）：
A 和 B 沒有任何區別。比如「內角和是180度的多邊形是三角形」，「《史記》的作者是司馬遷」。
A 屬於 B 這個集合。比如「蘇格拉底是人」，「中國是亞洲國家」。
可以把等於簡單地說成「是」嗎？
3樓：不想打噴嚏
我是覺得沒有悖論，如果用簡單的微積分定義去看是挺好理解的，1-0.999…=0.00…1=1/n
運用極限很容易得出n趨於無窮時，1=0.999…我在另乙個問題的回答中看到的我覺得最重要的一句話是權威教材中列出這個等式0.999…=1的前提是0.
999…中的…預設為lim，所以才有這個等式
而且到目前為止並沒有把0.999…作為乙個數字來看，或者說，其中的…我們都預設成lim，那麼這就是乙個極限等式，就比較好接受。
4樓：
0.999...不是數字。
不知道為什麼會有這麼多人說這是乙個數字。你可以說0.9，0.
99，0.999，...，這個數列，但不要說0.
999...這個數字。因為0.
999...既不是變數又不是常數，那它到底是什麼？不存在1和0.
999...是否相等的比較。
5樓：范傑
這其實涉及到概念和語詞的關係問題。同一概念可以由不同語詞來表達，如土豆和馬鈴薯，同一語詞也可以表達不同概念，如「一」可以表達乙個，一組，等等。回到你的問題上，1和0.
999…其實只是用不同的語詞（數字或者說數詞）來表達同乙個概念，數學上規定了它們相等。這裡面沒有悖論。就像Pi和3.
14159265…的關係一樣。
6樓：許廣新
首先我不知道題主知道不知道極限的含義
的七十五萬次方或者九十五萬次方都比零大
但是的無限次方就是零
第二就是∞和自然數沒法做正常的加減乘除
如果非要做
∞+1=∞-1=∞
如果你能理解這個，那麼這個問題你就懂了
7樓：
1/2和2/4是不同的數字,但是知乎上多數人都承認他倆相等,沒有悖論,而少數的那一部分人,大約也不會相信1和0.999....是相等的,而且你再長篇大論他們也不會相信,因為這種人往往缺乏學習的能力和耐心,多說乙個字不符合他們意了他們就跳過不看了,所以我不能寫的多
8樓：Dandan Liu
這沒啥奇怪的。
小數形式和實數其實不是一一對應的。
如果你非要定義一種新的數域使得1>0.999...，則會在這個數域中出現矛盾。沒有辦法定義減法運算，或加法。此時這將不是個數域，是沒法玩的。
其實本質上就是你不會定義實數，沒有乙個很好的邏輯上能嚴謹定義實數的方法，還使得這兩個數不相等。
9樓：
1/3 =0.33333...
1/3 x 3=0.3333...x31=0.9999....
知是你感覺上它不等於一，它實質上就是1的一種表現形式。
10樓：紅專並進
你可以參考華東師範大學出版社《數學分析》上冊，我們要證明乙個數小於另外乙個數，必須至少存在乙個數使得在這兩數之間，很明顯1和0.99.....是找不到的
所以任何乙個有限小數都可以將最後一位數減去一，然後再在這一位後補上9的迴圈，這樣就能將有限小數劃歸到無限迴圈小數
11樓：凝眸
1和0.9999.……本來就是乙個數，不過是兩種表達方式，這兩種表達方式在數學裡等價。
很多思辨他們的不同的依據是1-0.999.…=0.
000.……1大於0，可是最末尾那個1是不存在的呀，因為本來就是無限多個，無限的意義就是從開始但所有的數。1-0.
99..=0.000...
而不是其他，在0的後面接續的除了0不會是任何其他的數字
12樓：莎樂美
表達方式不同，值就不能相同嗎？如果寫成 是不是就更好理解了
題主可以看看高數，理解「級數」「極限」「收斂」等概念後再回頭看看這個問題
13樓：司洪亮
自覺得，這雖然不能說不是數學問題，但是也不是不可以說其己經超出了數學的範疇了，應該是乙個哲學問題才對，這有些如此許多物理問題實質上被說成是哲學問題一樣。象這種1與0.9999999999999相「=」的問題，實質上=並非等，而是極限同相=。
這裡的=是誤讀吧，覺著應該是。至於這個=前有極限兩個字限定。
或者準確的說，這個「1和0.999...」正確的寫成「1和0.
999...的極限=才好」不然你也可以換個符合嗎！（其實人家的公式都是有其它符號標明了的。
我們這個樣子拿來斷號取意不好！因為你把它按標準公式寫就應該不會有這樣的問題！有些上當了的感覺！
以下前面的批評我收回哈！）
其有些如同，「見詞生意」，或不過是見公式或符號生意而己的樣子。
多說一句，反正我也不怕得罪先生，就是這個樣子教數學的老師要批評，沒事的時候也了解點哲學，或者是教課書也問題，就是有些事多寫兩句好不好鴨？
不懂數學，裝一回，你們別打我！
14樓：數學烏托邦
這個其實就是乙個數字定義的問題。0.9999迴圈是乙個無限趨近的過程，對於無限的量需要用極限的思想來定義。只不過在初等數學中是不考慮無限和極限這些概念的。
15樓：萬年新手君
題主你知道「等於」的定義是什麼嗎？
對於兩個數x1和x2，如果對於任意的正數a，都有|x1-x2|
16樓：
乙個東西可以有兩種名字甚至多種名字。數學裡，你也可以給出兩個看似完全不同的定義。但是無論你怎麼稱呼它，任何情況下它們具有同樣的性質，甚至可以相互推倒。
就是說除了名字不同，我們拿它做任何事情都有相同的效果，那這倆東西其實就是乙個東西。
數學上，你所謂的不同只是寫法，或者定義上的不同，但是這倆定義卻可以相互推倒，那他倆表達的意思就是一樣的。
17樓：某叄
為什麼還會有這種問題？這問題不自己先搜一下？這一抓一大把的題目還再弄乙個問題出來？
咳，正常一點。
這本來就是乙個數的不同表現形式，就比如1/3和0.3333……。額，這個例子重疊了，換乙個。
就比如π和
這就是乙個數的不同表現形式，沒什麼悖論的。
如果你對1/3+1/3+1/3＝1有誤解的話，建議用12進製。1/3+1/3+1/3＝0.4+0.4+0.4＝1，不過12進製的標準寫法我還不清楚，請求指教。
希望知乎不再有這問題。
18樓：肥劉
這種事情見得多了，我只想說懂得都懂，不懂的我也不多解釋，畢竟自己知道就好，細細品吧。你們也別來問我怎麼了，說了對你我都沒好處，當不知道就行了，其餘的我只能說這裡面水很深，牽扯到很多東西。反正就是沒有悖論。
19樓：J.SBach
一句話，這是乙個實數的兩種不同表示方法。
就和，0.5，1/2，方程2x-1=0的解一樣，指的是乙個東西。
為什麼這麼多人驚呼反直覺，其根源在於，0.999...這樣的表示方法是不規範不嚴謹的，屬於一種「流氓不講道理」的寫法。
20樓：不見莊周
我初中的時候糾結為什麼
1÷3=，
1÷3=0.33333……，
×3=1，
0.3333…×3=0.9999…
0.9999很明顯和1不長乙個樣
當時我很迷惑，但是但凡入門了微積分，知道極限的定義的人，都會知道，0.9999……就是1了吧。
21樓：混沌宇宙
我就不回答這個問題了，我在這裡拋磚引玉，在這個問題基礎上推導一下。0.999...=1
0.999...=1—（1/10）的無窮次方。
推導出0.999...=1=1—（1/10）的無窮次方運算得到
0=（1/10）的無窮次方。
寫出無窮個這樣的式子，再左右分別相加。
0+0+...無窮個+0=0.000...01+0.000...01+...無窮個+0.000...01
0=1第二次數學危機真的解決好了嗎？
22樓：
把餘數部分加上, 1 / 3 = 0.33... 餘 0.00..1
所以 1 / 3 * 3 = 0.99... 餘 0.00..1, 這樣 9 和 1 相加發生進製得到 1.
23樓：萬能膠
這個不同是寫法不同，跟相等與否沒有關係。
比如1/2和0.5也是兩個不同的數字，不是照樣相等。
主要是對無限多個9理解上有問題，這個吧，不要去鑽牛角尖就是了。除了學生考試，大多數人都用不到。
24樓：列明
哈哈，關於這個問題的問題已經見過好幾次了。
問題還是原來的問題，問問題的人卻是乙個個的前赴後繼！
首先要明白：數學是發展的！
一千年前的數學水平不同於兩千年前，更不同於現在。什麼意思？你是不是潛意識裡認為，我準備說在不同的數學發展階段，對於這個問題有不同的結論？我不知道，我也不準備這麼說。
我的意思是：對於兩個階段的產物，不能同等去對比、比較！
就比如：關公戰秦瓊，誰輸誰贏？袁天罡和李淳風可以鬥法，你知道他倆跟劉伯溫比過麼？
歷史如此，數學也如此。
1是我們在靜態數學時代就發現的數，它是乙個結果，乙個標準。
極限是靜態數學發展向動態數學時代發現的工具，它是乙個過程。
0.9…是動態數學裡的數，1是靜態數學裡的數，你比一下試試看。
有人跟你說求一下0.9…的極限，你可以很自豪的說：就是1！但是如果有人跟你說求一下1的極限，你會怎麼想？
「無限趨近於」這個描述本身就是兩個物件在比較，這首先是乙個不斷比較不斷逼近的過程，然後，它才能表示乙個數。
現在，呂布不僅能和關羽劉備同場競技，還可以和李白莊周並肩戰鬥了！
為什麼？他們有了共存的平台：王者榮耀。
你說0.9…，就必須說明…的意義是無限迴圈。它是個無限迴圈小數，和它比較的，也應當是無限迴圈小數。想讓無限迴圈小數和整數比較，你也得有個平台才行。
嗯，所以，就有了極限。
0.9…+0.…1=1，
極限裡規定：0.…1=0，
所以：0.9…=1。
所以，這個問題就轉化為了：0.…1為什麼=0？
為什麼？這就是另乙個問題了，我不是不能解決。
時代少年團與R1SE明明是兩個不同性質的團體，為什麼會有很多人拿這兩個團體做比較呢？
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