1樓：
大家為什麼說匿名答案是對的，趨向於0並不表示等於0,無限個無窮小的和不一定是無窮小。
如果這樣算無限求和，所有積分的結果都是無窮多個無窮小的和都等於0，
2樓：
如果是12點時刻，而不是取左極限，那從數學上考慮肯定是1。認為缸中球card是連續的從而推出0，是基於物理上的感覺。然而super task如果在物理上可行，也並不能保證物理量的連續性，沒有理由憑日常經驗認為缸中球的card是連續的。
3樓：黎曼可不積
設每個時刻箱子裡球的個數的狀態為乙個元素，先選擇乙個恰當的空間去包含所有的元素
我認為選擇l^∞是恰當的，每種球看做乙個座標的話，每種球的個數看成在該點座標的值，這樣我們可以選擇l^p空間，但是明顯在任意p小於∞空間中，該狀態所代表的點列範數最終將趨於∞，所以我們在l^∞中考慮該點列的極限是什麼
首先在l^∞中該點列在每個時刻範數均是1（最大的座標值始終是1）（其實這裡並非去掉而是乘以1/n），這說明按照範數的意義下，該點列不可能收斂收斂到零，極限也不存在，這是按照強拓撲考慮極限的結果
還沒完，若是按照*弱拓撲考慮極限，因為l^∞是l^1的對偶空間，這樣l^∞就有了乙個*弱拓撲，這時候就出現了極限是零的結果，與右推移運算元類似，由於l^1中元素去掉前n個座標上的值是趨於零的（當n趨於無窮），這樣容易驗證對任意l^1元素做對偶積是趨於零的（當時間趨於臨界時間時），這樣就證明了該點列在l^∞中*弱收斂到零
以上是以泛函分析觀點看待這個問題
還有打字好累 ，奇怪為什麼我總要吐槽這一點
4樓：
這其實是個well—defined的問題，借鑑了無窮旅館的例子考察，但是有區別。事實上我學概率論時遇到過類似的問題，不過不是拿球而是往貓籠裡拿貓，最後教授給的答案是乙隻貓都沒有的概率是百分百。但我仔細思考之後，認為這個問題大致可以這麼分析。
題目中只說取球不耗時間。如果說預設加球也不耗時間。那麼12點這個時刻之前的操作永遠無法結束下去，或者說我們得到的是乙個定義在半開半閉區間上的無窮數列，端點處最終的結果只能是按極限來取，不然就沒有意義。
因為取球加球的操作永無止境。9N的極限是無窮大，換言之，有球的概率是1，無球的概率是0。另外考慮重排的做法是錯的，因為+10和-1是同時的操作。
這是乙個思想實驗，因此也不需要考慮時間不能無限分這個情況。一種說法給球編號按特殊序號取球，發現所有的球都會被取走，且不用說題目裡沒有按固定編號排序取球，就算你這麼取，每個球會被取走不代表存在乙個時刻缸裡沒有球。第n次取走n個球的時候缸裡還有序號大於n的球呢。
所以我認為答案是0或者無解。
5樓：
考慮問題：「數軸上，(0, 1] 內的點是否和 [1, +∞) 一樣多？」
如果我們建立 x -> x + 1 的對映關係，那麼 (0, 1] 和 (1, 2] 的點一樣多，而後者是 [1, +∞) 的真子集。
而如果建立 x -> 1/x 的對映，那麼 (0, 1] 上的每乙個點都能且只能在 [1, +∞) 上找到乙個對應點，即兩者之間每乙個點都存在一一對應的關係，故可以認為點數相等。
- 回到原問題，問題可以轉化為：
把箱子看成是自然數的集合，然後
1、從集合中隨機刪去乙個元素（重點是隨機）
2、對上一步操作所得的集合重複步驟 1 無數次
最後集合中剩餘元素的個數是多少？
- 如果稍微改動一下：
結果是集合中依然有無數個元素
- 再次修改：
結果是集合只剩下 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] 十個元素
如果你相信可以實現「從無窮集合中隨機取出其中乙個元素」這一操作，那麼題目的答案是集合最終會變成空集，箱子裡最後沒有球。
6樓：霜之哀傷
完全正確理解這個問題涉及的所有知識超出了一般大眾的數學儲備，但是這個悖論如此反直覺倒是很好理解。如此反直覺本質上就是思考在無窮多個球中抓出乙個球的概率。只是牽扯到了集合問題把它複雜化了。
類似問題參考閱讀給你們學習乙個：
問這個動物還能活多久? - 知乎
假如乙個動物的壽命是0.9秒 --乙個有趣的問題 - 知乎專欄
這裡需要注意的是
概率為零不是不可能事件連續型隨機變數取每乙個值的概率都是零，但每乙個值都有可能被取到和的極限不一定是極限的和從有窮到無窮進行了本質的變化
能理解從無窮個球中抽取出球的概率為零和Ross-Littlewood paradox，這個題就理解了，注意表述不是抽不出球，而是概率為零
所以，我常常感慨數學的博大精深。唉吾生之須臾，羨長江之無窮！
至於關於更本質的集合論,度量空間上的問題，我也不是謙虛，另請高明吧。
以上只是方便非專業的了理解。最後我認為這個題確實是開放式回答，因為本質上確實是個Ross-Littlewood paradox 的變形。
但是我確實傾向the problem is ill-formed，就好像你不能談論2D空間的乙個點的面積.再談下去就牽扯到更本質的問題了,比如這個世界到底是離散的還是連續的？ - 知乎
7樓：普通的穗乃果普通地搖
這個問題吧，有點像乙個一直向右跑，空間上不擴散但是峰值越來越大的波包，比如：
f_n(x)=ne^(-(x-n)^2)
毫無疑問，在逐點的意義下，f_n(x)趨於零。
更極端一點，我們考慮乙個均值1/n，標準差1/n^2的正態分佈N(1/n,(1/n^2)^2)
它的積分始終是1，但是可以證明它逐點收斂為零。直觀上來看，它的峰逐漸靠近0，但是寬度減小得更快，以至於0處的函式值仍然趨於零。
這個極限是良定義的嗎？當然。
這個極限符合直覺嗎？並不。
這個極限有用嗎？常常不是。
這個問題同樣。
如果老老實實地叫「歸一化全空間上的測度論」，怎麼玩是數學家的自由。
但是你既然叫了概率論，又用自然語言描述題目（用無限次操作「構造」概率空間），這就不再是純粹的數學問題了。不考慮清楚數學模型和實際問題的對應，就說不過去了。
原則上，數學上禁止一切無限的操作。
雖然很多時候，會用集合論的手法繞開。
這個問題，無疑是考慮同一時刻，並讓時間趨於無窮，更符合實際。
8樓：平行三點一度
這個問題沒有意義，如果如題目所說，那麼宇宙在離12點無限近的時侯就會崩掉，還有這個問題也可以說是1/0.5的n次方的翻版，n只能趨近於無限大，分母只能無限小，絕對不會等於0，等於0的話，誰都知道1/0沒有意義。(怎麼誰都不知道這個問題到了12點也是沒有意義呢？？？
)假設1/0=n，那麼n*0=1，(這裡不是極限，是實實在在的0，因為題目也是實實在在的12點而不是無限趨近於12點)，n等於多少？？
同理，12點時箱子裡的球有多少？？沒意義。這是數學，不談量子，那1/0也是數學。
9樓：小平
缸在12點時a.s.有-4又1/2個球 （在某種合理定義下）概率空間是可以良好定義的，但所謂12點這個時間缸的狀態則取決於定義。
比如，12點前1/2^(n-1)分鐘，缸內a.s.有9n個球，可將其視作n個9相加，即9+9+9+....
的部分和。我們知道對於發散級數可以使用拉馬努金求和約定，所以不妨定義12點時的球數是每個時間點增加球數構成級數的拉馬努金和，即-9/2。有疑惑的同學請移步 https:
//zh.wikipedia.org/wiki/發散級數 。
這告訴我們，如果能製備無窮個球，且無視測不准原理使得放取球的速度任意快，
球也許會炸裂成兩半。
10樓：暮紫駿
以我這個高中數學老師的理解：
1.最後袋子裡一定有球，即有球的概率為1
2.任意乙個球留在袋子裡的概率為0
這完全不矛盾啊！！！！！，無窮個0的概率可能是1，也有可能依然是0.對於本題就是1啊。。
11樓：
正如 @靈劍
@等待飛翔
@王贇 Maigo 等人的回答指出的，這裡關鍵在於如何確定集合列的極限
按照範疇論的概念，乙個極限的確定有賴於兩個範疇的確立，乙個是集合的範疇 S，另乙個是指標範疇 J；函子 的極限是 S 中的物件 c，這個 c 是通過其 universal 性質確立的
當 S 和 J 都已經明確了，此時函子 F 的含義就可以明確了：F 給出了 S 中的乙個集合列 並且
不難知道，此時 F 的極限就是該集合列的並
這實際上正是題主這個問題之所在。按這種隨機的抽取方法，在相繼的兩步中，缸中編號球構成的集合 和 一般並不滿足包含關係 因此並不能談論其極限
當然你可以說我不選 做指標，而是其它一些東西比如離散範疇啥，這時任意的集合列也可能存在極限
但不管怎麼，你首先都得明確你的範疇是啥。從這個角度來看，對題主問題最合適的回答是：
It's not well-defined
12樓：zzyu5ds
男票是數學系的嗎？我前些天有個同學也這麼告訴我，描述都完全一致，我說不是良定義的，他說答案就是1你怎麼樣，沒把我氣死：你也來學數學？
又想起乙個問題：
1-1+1-1+1-1 ...=?
本來這個是不收斂的，不可計算.
但我硬套公式1/(1-x)=1/2. 嘿嘿，違背直覺然後我告訴你直覺不可靠。
到底是直覺不可靠還是答案不可靠。
13樓：
看到這個問題突然想到乙個情境：乙隻烏龜和乙隻兔子要去乙個遙遠的地方，遙遠到它們也不知道終點在哪，兔子每次走9步而烏龜只能走1步，烏龜看著兔子離自己越來越遠心裡卻想：反正終點永遠也到不了，所以我是不會輸的。
好像卻實是這樣，故事到這也就結束了。
可是聽到故事的人希望知道比賽結果，於是將終點從遙遠的地方放到了乙個近處，兔子贏得了比賽。
14樓：Yogomove Keita
問題在於本題中給出了現實時間，而根據最簡單的量子理論，時間並不是無限可分的...
所以本題中描述的過程在進行到12am前5×10E-44秒之前，就已經無法繼續下去了，所以並不存在無窮多次重複的過程
Q.E.D.
15樓：Khadgar
連上兩學期概率論，感覺可以答一下，學純數的大神可以指點我……
儘管整個隨機過程是well-define的，但是12點時刻的概率空間（包括Omega，sigma-algebra和測度P），還有random variable，都是沒有很好的定義的。如果定義好了，這個題目就做完了。這其實就變成乙個很好玩的遊戲了。
首先如果定義了12點的random variable (v)的值域是U，也就是球的數量（好像很有道理），那怎麼定義概率空間呢？很自然的，我們就拿那個隨機過程的概率空間吧（好像很有道理），但是怎麼定義這個random variable？因為我們是繼承了隨機過程的概率空間，我們很自然的就需要用這個過程的極限來定義12點的random variable。
這個時候就有分歧了。
可以定義 random variable v(omega) = lim f_n(omega), where f_n = number of balls in the box，for each omega \in Omega（好像也很有道理）, 那這樣v = \infinity a.s... P(v =\infinity )=1。
但是如果你非要考慮每個球的存活，對的，對任意乙個球，almost surely 它會出去。基於這種思路，如果你定義random variable v(omega) = card( limsup A_n(omega) ), where A_n is the set of balls in box in nth step, for each omega \in Omega。那P(v = 0) =1。
這個在數學上也沒問題的。
因此這個題目就是沒有定義好12點的概率空間和random variable，怎麼出悖論都很正常。這個題目的悖論核心就是limit of the card of set 不等於 card of the limit of set。 講道理吧，因為現實中這種12點是不存在的，所以怎麼定義12點時刻的概率空間還有random variable都行的，數學遊戲罷了。
國內會有一些書，就會出這種題目，答案也不一定可靠嘛，你問一下答案的作者怎麼定義12點的概率空間以及在此空間下的random variable，他肯定要愣一下。
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