1樓：
Chern number的意義是topological obstruction ("拓撲阻礙"?).
在拓撲能帶理論的語境下, 這個obstruction的意思是: 如果乙個二維能帶的first Chern number C ≠ 0的話, 相應的Bloch vector(波函式的週期部分)就一定不存在乙個滿足布里淵區週期性並且處處光滑的規範 (gauge).
這裡的所謂obstruction是指Stokes旋度定理失效. 具體來說, 在給定的乙個規範下, Chern number可以通過對Berry曲率在布里淵區的積分得到. 考慮乙個C ≠ 0的能帶, 由於Berry曲率是Berry聯絡的旋度, 如果Stokes定理成立的話, 這個曲率在布里淵區的積分應當等於聯絡在布里淵區邊界的積分; 進一步, 如果我們考慮的規範滿足布里淵區的週期性, 這個邊界上的積分會由於週期性被完全消成零, 與C ≠ 0矛盾.
所以對於C ≠ 0的週期能帶, Stokes定理必然失效, 具體的原因是Berry聯絡會在某些地方不光滑.
實際計算當中可以取多個互相交疊的patch組成乙個atlas來蓋布里淵區, 每個patch上面的gauge都是光滑的, 然後不同的patch之間差乙個規範變換. 算C的時候就可以用Stokes定理把積分放到交界上去, 最後的結果是不同patch之間規範變換的winding number.
具體可以看Andrei Bernevig的書 Topological Insulators and Topological Superconductors 第30頁 (Google Books).
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