1樓：
對於基於如下公式的winding number(v)和Chern number (C),
Chern number 和 winding number都是用來描述體系(bulk bands) topology的topological invariants，但是適用條件不同：
Chern number用於描述多能級系統，對體系無對稱性要求；
Winding number用於描述具備Chiral symmetry的二能級系統。
對於乙個有且只有Chiral symmetry的兩能級系統，其Chern number與winding number等價！
2樓：垃圾君
最近正好看乙個拓撲的note，裡面舉了幾個例子說明Winding number、Chern number如何標記拓撲不變數。當然，這兩個number的概念應該比較寬泛，我在此只通過兩個模型來看這兩個量的區別與聯絡。
一、winding number
一維SSH模型
調節兩個躍遷引數v,w，系統出現拓撲平庸、非平庸的兩個相。非平庸的相會在開邊界的條件下出現零能邊緣態。除此之外，系統的chiral symmetry還保證了邊緣態要麼只佔據格點A，要麼只佔據格點B。
只要保證symmetry不被破壞，還可以得到乙個結論：如果我們把目光盯著一維鏈的某乙個端點，那麼這一端佔據在A格點的零能邊緣態數目，與佔據在B格點的零能邊緣態數目的差值 是不會變的。這種性質是非常robust的，因為這個不變數是對稱性保證的，也就是只要外界擾動不大，這個差值就是不會變，我們因此叫它拓撲不變數。
下一步我們考慮週期邊界的情況，對SSH的哈密頓量進行傅利葉變化 的形式（其中 ），chiral symmetry要求 。若我們把看做k的函式作圖，由於布里淵區的週期性，它會是一條在xy平面的閉合曲線。這條曲線繞過原點的次數就是winding number，在 的情況下，為了保證gap不閉合，這條曲線永遠不能通過原點，winding number也不會改變，所以它也是拓撲不變的。
而這個winding number就等於上面所說的單側分別處於A格點、B格點邊緣態的數目差。所以說，系統的邊界資訊完全隱含在體相性質中，這就是edge-bulk對應原理。
二、chern number
在SSH模型的基礎上，加入 化學勢項，並且讓系統含時週期演化： 。開邊界情況，我們可以畫出系統在每一時刻t的能級，則會發現會有兩條能帶穿過gap連線導帶與價帶（能帶出現乙個叉），因為模型bulk始終有gap，所以這兩條穿過gap的能帶由SSH鏈的邊緣貢獻。
根據這個來自邊緣的態在時間演化過程中的行為，我們把它分個類：能量若從價帶提公升到導帶，我們稱charge pump（+），若相反則標記（-）。若把t看做另乙個維度上的k，則系統分立能級的含時移動就是乙個能帶。
通過簡單的分析（能帶連續、單值性等），我們可以斷言，那些來自某一端貢獻的邊緣態，charge pump情況帶的數目，與相反情況帶的數目的差值 是不會變的。與winding number類似，只要bulk能帶不閉合，這個量就不會改變，因此它同樣是拓撲不變的。
接下來，為了尋找這個量與bulk性質的聯絡，我們發現之所以邊緣態會pump電子，是因為bulk的價帶電子在含時演化中會在bulk中流動，若遇到邊界，會把電子擠到導帶上去，這也是邊緣態能量會從價帶pump到導帶上的原因。通過分析我們判斷，在鏈的某一側被擠上去電子的數量 其實就是系統在半滿情況（每個波矢k佔乙個電子）乙個演化週期內通過鏈的任一截面的電流的積分。若我們把維度t看做另乙個方向上的k，這個電流的積分就是chern number。
最後要說的是，這個含時演化的模型其實與乙個二維格點模型並無二致。只不過，這時邊緣態的意義不再是一維鏈的邊緣態含時演化的能量變化，而真的是用另乙個量子數k標記的態。至此，我們又再現了第一節的結論，乙個系統邊界的性質完全隱藏在系統體相的性質中，只不過在這個二維系統中，對應的是另乙個整數chern number而已。
3樓：daod little
The winding number=the loop integral of the local gauge transformation over the Berry phases (gauge invariant quantity).
The first Chern number=the integral of the Berry curvature (gauge independent) over the first Brillouin zone.
The first Chern number is identical to the winding number and TKNN integer related to the gauge field (U(1) fiber bundle).
4樓：李木子
我完全不懂物理, 不知道算不算強答.
實際上考慮流形 M 的Euler類 , 在流形上的積分, 也就是Euler示性數, 等於 的截面與零截面的代數相交數. 考慮 的截面也就是 上的向量場 , 假定向量場的奇點（零點）離散, 那麼可以證明Euler示性數等於向量場 奇點處環繞數（winding number）之和（好吧這一般也叫向量場的指標）. 向量場奇點處的環繞數, 是指考慮在奇點充分小的球形鄰域上考慮單位化的向量場, 由此給出的 到 對映的對映度（degree）.
對於實 維（近）復流形 , Euler類就是最高陳類 , 於是第 陳數等於 上向量場奇點處環繞數之和. 如果 是Riemann面, 那就是第一陳數等於 上向量場奇點處環繞數之和.
其實我主要接觸環繞數（winding number）就是在向量場奇點這裡，我一直不知道在哪些情況下對映度可以被叫成這個名字……
數學上陳數（Chern number）或 Berry Phase 有何意義？
Chern number的意義是topological obstruction 拓撲阻礙 在拓撲能帶理論的語境下,這個obstruction的意思是 如果乙個二維能帶的first Chern number C 0的話,相應的Bloch vector 波函式的週期部分 就一定不存在乙個滿足布里淵區週期...
如何評價陳數的外貌
陳數之後再無方豔雲 長相姣好，氣質出眾，惹人憐愛，若即若離，有緣無分是個男人被她這可憐兮兮的眼神一盯都會心軟 說不出來的感覺，當情人一等一，當老婆不合適 六裡桃林 她給我的感覺就是她本人是乙個很堅定很有大智慧型的姐姐，但是她的角色又很 色氣？就是真的一舉手一投足都是風情，就會讓人有一種想跟她doi的...
如何評價陳數的演技？
和某個答主的觀點一樣，在抖音上有看過完美關係的片段，感覺也是油膩。她演的那種霸氣的形象太端著了，全程一副高高在上的傲嬌臉，乙個表情。好像其他人都沒放到眼裡，女強人怕也duck不必是那個樣子。她不像袁泉演女強人的感覺自然。說句難聽的話，就劇中她整天板著個臉，她老公像個下人一樣侍候她，本來就是不正常不平...