1樓：
其實沒必要在意什麼硬分析，軟分析。不管用什麼方法，能把問題解決就行了。現在有一群人用統計去搞RH，如果他們給出了正確的證明，絕對不會有人因為他們不是用純數的方法而否定他們的。
（解決問題是一方面，審美是另一方面。如果從審美來看，我更傾向於軟分析）
2樓：
小補充。直覺主義口號：存在等於可構造。
可構造既依靠直覺經有限步驟構造出來。直覺主義者慎用排中律和選擇公里。構造當然是相當考驗技巧的。
我還想到華羅庚，華老明確表示自己做數學證明不喜歡用「數學歸納法」，不妨礙華老寫了一本《數學歸納法》科普。
3樓：
談一下我從物理角度的理解吧，讓各位見笑了。
硬分析就是直接剛正面，比如分析乙個運動，直接寫微分方程然後解，每乙個過程研究的清清楚楚。比如美到極致的麥克斯韋方程組這種。
而軟分析就是別管那麼多，我能想個辦法得到答案。至於為什麼想到這個辦法你別管，我就是想到了。比如高中物理裡面比較無賴的能量守恆，具體什麼情況完全不了解，但是就能得出最後的答案。
針對這兩種在數學裡，可能大神都比較偏向於硬分析，更多的做構造性證明。但是在物理這邊來看，第二種有的時候雖然脫離了數學，但是更能抓住物理原理的本質。薛丁格能給出漂亮的方程固然厲害，但是徳布羅意簡單到幾乎不用數學的物質波的思想缺更難能可貴。
一點淺薄的觀點，希望大家指正。
4樓：
證明一（硬分析）：參見
E. M. Stein, R.
Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis) , Section 2.2, Page 83-87.
證明二（軟分析）：反證法。如果命題成立，那麼傅利葉級數的任意項部分和都是有界的。
根據Uniform boundedness principle，可以推出它們作為在連續函式空間（賦予無窮範數）上的運算元（固定一點）範數一致有界。然而這與Dirichlet kernel的性質
矛盾。由此得到一定存在在該點不收斂的函式。
事實上這兩個證明實質都是利用的Dirichlet核的範數無界性。證明一就是硬剛正面，構造性證明。作者手動構造出乙個例子，只用了數學分析的知識，但是用了5頁。
證明二是利用泛函分析，半頁紙都不到。但是你根本不知道這個函式長的什麼樣子，並且使用了大定理。
構造性證明往往是分析學中經常用的。因為面對乙個未知的問題時，尋找突破口的方法就是不斷地去嘗試計算，看看問題可能在哪兒，是否有反例等等。這樣的東西稱之為硬分析。
而軟證明往往需要你對問題有著良好的直觀感覺，知道突破口的大致位置。這樣的東西往往很漂亮，但是大家都不太喜歡，因為根本不知道究竟問題在哪兒，不清晰。
再有一點，硬分析做問題的過程可能很複雜，但是思想簡單，能夠解決問題。軟分析往往需要靈感。現在有的問題只有硬分析（比如PDE）解決，而沒有簡單的軟證明。
再舉個不太恰當的對應：軟分析就像是當你做平面幾何的題目時，用純平面幾何方法構造輔助線去做。這個往往需要大量的時間和靈感。
但是硬分析就是不管三七二十一建立座標系開始算，就是剛正面！（可能有些小技巧讓計算簡化，但是核心思想就是剛正面）
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