1樓：既不神聖也不家族
賓士定理是N維向量基本定理乙個其實不怎麼實用的推論.
先證明二維情形
考慮三角形ABC，平面中任意兩點F，E。存在實數x、y使得AF=xAB+yAC
整理可得EF=（1-x-y）EA+xEB+yEC
定義若x>0、y>0、x+y<1則F點在三角形ABC內。這與直觀感受是一致的，因而下面就直接用直觀來簡要論證.
不妨設E點在AB上，則EF可以分解為yEC+e（其中e為EF在AB上的分量），觀察圖形和係數，有：
y= （即使在N維的論證中，也就是與之一樣的底乘高）
同理x=
1-x-y=
令E點與F點重合，既得欲證明之結論。
N維的論證與之基本一樣，在此不贅述了。
如果採用點幾何方法表示F點，賓士定理事實上是沒有必要記憶的。（如果你對面積的共邊定理理解很深的話，你就會知道係數就是遠離某線段的比值）
2樓：shota
用叉乘的幾何意義秒證。
xOA+yOB+zOC=0，兩邊分別叉乘OA，OB，OC並利用叉乘的幾何意義即可得到三個三角形面積的比值。
3樓：三千弱水
「賓士定理」揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊含的乙個優美規律，並因其圖形與賓士的 logo 相似而得名
賓士logo
這篇回答主要給出5種證法[1]、五種特例[2](三角形五心)及四個推廣[3]
[4]，再附加幾道相關習題[5]
[6]如圖 已知 為內一點，其中表示
的面積，則滿足:
如圖 延 交 於點，令則所以
所以如圖 設
所以所以
又 不共線，所以
如圖 由題可知存在 均不為 0使得
在直線 上取點 使得
所以所以
所以所以
如圖 過 作 過 作 不妨設存在 使得
即有所以 與 共線
所以同理
所以即有
如圖 延長 交 於令所以又
所以即所以在 中, 為內心,則
在 中 為外心,則
中 為重心 則
在 中，為垂心,則
在 中 為 所對應的旁心, 則
設 是 所在平面內一點，且有
為不全為零的實數,記
的面積分別為 則
且設點 是線段 所在直線上一點,且有
為不全為零的實數，記線段 的長分別為 則
且設點 是三稜雉 所在空間內一點,且有
為不全為零的實數,記三稜雉
的體積分別為則且
若點 是三稜雉 的內切球的球心, 則
已知點 是 內任意一點,用 分別表示質點 處的質量，則已知 為 所在平面內任意一點， 則有
設 點在 內部 且有
則 的面積與 的面積之比為
已知點 點在 內 且滿足
設 的面積依次為則
設 為 的內心，且
則角 的大小為
已知點 在 內 且
則 等於
已知 為 內一點, 滿足
且 則的面積為
為 內一點, 若
設則實數 和 的值分別為
4樓：貔貅
先占個坑，最近課多作業多。咱們言歸正傳，解答如下：
設 。根據向量賓士定理的表述：
我們可以用向量座標化對上面這個式子進行化簡，用行列式來表示這三個小三角形的面積。對於 我們看到從 到 是呈逆時針方向旋轉的，那我們按照逆時針的順序在行列式裡面寫點的座標，即 ，左邊第一列為B點的座標，右邊那一列為C的座標。這樣還沒有結束這個行列式僅僅表示的是由 和 通過平行四邊形法則合成的乙個平行四邊形的面積，那麼 （按照逆時針方向寫點，算出的面積為正值）。
同理 , 。
又因為 ,
我們將所有條件帶入 得，
橫座標：
縱座標：
這正是 。
證明 點在 的情況並不難，所以我想留一道思考題：若 點不在 內部能否用我的這種方法證明呢？
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