帕普斯定理有哪些證明

時間 2022-01-22 09:03:33

1樓:雲淺知處

兩條直線 與 上的點的並集可以看做二次曲線 。

或者說,直接把它看作退化的二次曲線。

因此帕普斯定理同樣是帕斯卡定理的一種形式。

2樓:sumeragi693

我就幫你直接把書上的證明抄過來吧,先給幾個定義和引理。

定義1:如果兩個點列 對應點的連線交於同一點 ,則稱這兩個點列之間的對應關係叫做透視對應, 叫做點列的透視中心。

如下圖,點列 上的四個點 與點列 上的四個點 對應,且直線 同時交於點 ,記作 。

透視點列

定義2:點列 上的點通過若干次透視對應之後與另一點列 上的點形成了一一對應,稱這兩個點列之間的對應關係叫做射影對應,記作 。

從兩個定義中可以看出透視對應一定是射影對應,但射影對應不一定是透視對應。接下來給出射影對應變成透視對應的充要條件。

引理:兩個點列之間的射影對應成為透視對應的充要條件是這兩個點列的交點自對應。

如下圖, 是兩個成射影對應的點列, 是它們的交點,並且 在 上的對應點 與其重合,則 構成透視對應。

有了以上引理之後可以證明帕普斯定理了。

定理:如下圖,設 和 為兩直線上的兩組共線點, ,則 三點共線。

帕普斯定理

設 ,利用透視對應和射影對應的定義,因為

所以 而在這個射影對應中,兩點列的交點 自對應,根據引理,這個射影對應是透視的,所以對應點的連線共點,即直線 共點。

而 ,也就意味著 經過點 ,亦即帕普斯定理得證。

網上找到乙個代數證明,供參考。

3樓:xxy246

4樓:毛病

萬能正弦,式子可能會比較長

在 中,

在 中,

兩式相除,得 ,記為1式

在 中,

在 中,

兩式相除,得 ,記為2式

在 中,

在 中,

兩式相除,得

,記為3式

將3式代入2式,再將2式代入1式,有以下等式:

根據這種方法,同理,在另一側有等式:

能夠發現兩式完全相等

故 ,因 與 對頂角,故易得 、 、 三點共線,證畢

5樓:dxyh0814

比較自然的乙個證明是用很多次梅涅勞斯定理列出關係式然後直接拿比例式四則運算湊結論。至於其他的證明,限於本人才疏學淺,暫時沒有繞開塞瓦定理和梅涅勞斯定理的證明。

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