1樓：金閃閃
在知乎看見的，忘記出處了
令S＝1-1+1-1+1-1+……（無窮多個）問S等於多少？
答：S＝1/2
證明：S＝1-1+1-1+1-1+……（無窮多個）則1-S＝1-1+1-1+1-1+……（無窮多個）所以S＝1-S
所以S＝1/2
2樓：好地方bug
居然沒有人說Chomp。
Chomp是乙個兩人的組合博弈，有乙個 的巧克力，其中左上角 是有毒的：
兩人輪流來取巧克力，乙個人選擇了，那麼所有 都會被這個人吃掉：
誰先吃到有毒的巧克力，誰就輸了，在兩個人都極端聰明的情況下，問先手必贏還是必輸？
答案是，除非 ，否則先手必贏。
證明：為了方便，不妨設先手叫Alice，後手叫Bob（可憐的Bob）
假設Alice開始很傻（沒錯，就是要利用Alice的傻，Bob的聰明），Alice選擇了右下角，聰明的Bob選擇了乙個必勝（對Bob來說）的位置：
既然這個位置能保證Bob贏，那麼Alice何不第一步就取這個位置呢，取了這個位置之後，必敗的局面就扔給了Bob:
證明完畢。
3樓：小魚
一人問:
1/3和0.3的無限迴圈哪個比較大？
甲:1/3就等於0.3333……所以它們兩個一樣大。
乙:錯了，1/3*3＝1，而0.3的無限迴圈乘3等於0.9的無限迴圈。1比0.9無限迴圈大，所以1/3大於0.3的無限迴圈
丙:10*0.9999…… － 0.9999…… ＝9.9990.9999…… ＝9
同時10*0.9999…… － 0.9999……＝9*0.9999……
所以可得9＝9*0.9999……
所以1＝0.9999……
所以1/3*3＝0.3333……×3
所以1/3等於0.3的無限迴圈。
丁:(給出了另一種證明1等於0.9999……的方法)……(其他人陸續給出了各種證明1等於0.9無限迴圈的方法)本人比較菜，這是從別處看到的覺得挺有趣，覺得太簡單的別笑我。
4樓：Chris Zhang
曾經看過乙個有趣的數學問題：證明任意大小的圓上的點要比無線長的直線上的點多乙個點。
簡單的不嚴謹的證明：
如圖，在無線長的直線上任意找一點和A點相連，都會和圓交於不同的圓上的一點，A點即是多出來的那乙個點。
5樓：
自創的等比數列求和方法嘻嘻
我在初中（還是高一不好意思記不清了）老師講到十進位制二進位制轉換時候，突然發現誒這好像很熟悉誒
比如1111（2）=1*2^3+1*2^2+1*2^1+1*2^0 這不就相當於等比數列的求和嘛
當然這不是重點
重點在於1111（2）+1=10000（2）=1*2^4=16所以1111（2）就等於15
二進位制的就相當於比值是2
模擬一下
比如比值q是5
1111（5）*4+1=4444（5）+1=10000（5）所以很快計算出來
5^3+5^2+5^1+5^0=（5^4-1）/4等式右邊有沒有很熟悉，這不就是等比數列求和公式嘛～攤手所以從此以後等比數列求和公式我一下子就可以默寫出來，哪怕很多很多年沒有用過
感覺數學很多東西都是相通的有沒有嘻嘻
6樓：暱稱不知道怎麼改
糖水不等式
a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），則糖的質量和糖水的質量比為：b/a，若再新增c克糖（c>0），則糖的質量和糖水的質量比為：(b+c)/(a+c)。
生活經驗告訴我們：新增糖後，糖水會更甜，於是得出式子。(b+c)/(a+c)>b/a(a>b>0,c>0)
感覺很有趣(*^^*)
7樓：一歲下海抓蝌蚪
用二分法時間複雜度證明log(m*n)=log(m)+log(n).
假設有乙個已經排好序的m*n矩陣，即每行裡右邊總比左邊大，每行第乙個數總比上一行最後乙個數大。目標是在這個矩陣中找到乙個數target。
方法一：二分法對每行第乙個數組成的序列進行查詢，目標為floor(target)。二分法在m個數中查詢目標，時間複雜度為O(log(m))。
然後在找到的這一行序列中查詢，目標為target。二分法在n個數中查詢目標，時間複雜度為O(log(n))。所以總的時間複雜度為：
O(log(m)+log(n)).
方法二：將矩陣排列成一行有m*n個數的陣列，在這個陣列中查詢target。二分法在m*n 個數中查詢目標，時間浮渣度為O(log(m*n))。
因為方法一和方法二時間複雜度是相同的，所以log(m*n)=log(m)+log(n)。得證。
如果有錯請改正我。多謝
8樓：T-Chen
看到問題我突然間想到了梅花相位機的發明。。。
梅花相位機是由偉大的演化論的提出者查爾斯達爾文的表兄佛朗西斯高爾頓所設計和發明。作為高斯分布的瘋狂崇拜者，高爾頓設計和發明了一台機器，目的是向世人展示高斯分布（正態分佈）存在的普遍性和正確性，設計構造如下圖：
是不是和小時候經常看到的賭博機頗為神似呢！
9樓：fox400faster
已知乙個三角形的兩條角平分線相等，求證該三角形為等邊三角形。這個問題解法有許多種，也讓許多數學家為之著迷。其中乙個比較簡單的方法就是反證法，大家可以試一試「其實我也只會這一種-_-#
10樓：
說兩個非常基礎但是極其漂亮的數學證明。
我將證明詳細拆分為若干簡單的步驟，有中學水平數學素養並且願意查詢相關定義（比如集合上拓撲的基本定義和最基本性質，對合，不動點）的知友可以嘗試自行證明以下兩個漂亮的數學定理。在此，題主以為：數學最大的美就隱藏在這些過程當中，如果你對數學有興趣，請務必嘗試小小的思考一番。
Zagier's "one-sentence proof" of Fermat's theorem on sums of two squares
欲證：已知p = 4k + 1為素數，證明其可表示為兩個整數的平方和。
證明摘要：
1，S = 只含有有限個元素。
2，(x, y, z) → (x, z, y)和
是集合S的兩個對合。
3，對於第乙個對合，不動點為y=z;
對於第二個對合，不動點有且僅有乙個，為（1,1,k）。
4，對於有限集合來說，這個集合元素個數的奇偶性與任意乙個對合的不動點個數的奇偶性相同。則根據第二個對合，這個集合有奇數個元素。對於第乙個對合，不動點的個數為奇數，不為零，而這個對合的不動點正好給出p作為兩個正整數的平方和。
鏈結可見：http://
en.wikipedia.org/wiki/P
roofs_of_Fermat's_theorem_on_sums_of_two_squares
Furstenberg's topological proof of the infinitude of primes
欲證：存在無限多個素數。
證明摘要：
可定義整數集上的拓撲如下。
所有的開集由以下基本開集合生成：空集，S(a, b) (a ≠ 0)此處
1，證明這是乙個合理定義的拓撲。
2，任意乙個非空開集含有無限個元素，即有限集合的補集不能是閉集。
3，S(a, b) 即是開集又是閉集（why?）。
4，可以看出
5，根據2可知4中等式左邊不是閉集。假設只有有限個素數，則右邊等式是有限個閉集的並，仍然是閉集。矛盾！
鏈結可見：Furstenberg's proof of the infinitude of primes
11樓：larmbr宇
證明「實數是不可數的"的金色對角線方法。
這種方法簡單又美麗，我認為很有趣。哥德爾不完備定理的「仙性」可以從這個看似簡單的定理的方法中初窺堂奧。
12樓：
哥德爾的本體論數學證明，即證明了上帝是存在的。
維基百科鏈結如下
好吧我是求知乎牛人來吐槽的
13樓：閔行老實人
考慮證明素數無限，有很多證法，挺有意思的！
有乙個我覺得非常新穎而神奇，挺有趣的也不長。
證明.任意取乙個正整數1" eeimg="1"/>.
和是兩個相鄰的整數，故兩者互素，從而至少有兩個不相等的素因子.
類似的，和也是相鄰整數，兩者互素，從而至少有三個不相等的素因子.
這個過程可推至無窮，故有無窮多個素數.
參考.Saidak F. A new proof of Euclid』s theorem[J].
Biscuits of Number Theory, 2009 (34): 61.
14樓：Haochen Liu
補充幾個比較有難度的：
1. 哥德爾不完備性定理
任何相容的形式系統，只要蘊涵皮亞諾算術公理，就可以在其中構造在體系中既不能證明也不能否證的命題（即體系是不完備的）。
任何相容的形式系統，只要蘊涵皮亞諾算術公理，它就不能用於證明它本身的相容性。
2. 連續統假設
不存在乙個基數絕對大於可列集而絕對小於實數集的集合。
3. 巴拿赫－塔斯基定理
這一定理指出在選擇公理成立的情況下，可以將乙個三維實心球分成有限（不可測的）部分，然後僅僅通過旋轉和平移到其他地方重新組合，就可以組成兩個半徑和原來相同的完整的球。絕對毀三觀。
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