1樓：郭易
部分不一定小於部分，有可能等於部分。
在歐幾里得的幾何原本中有一條公理：整體大於部分。
在經過幾個世紀的數學發展後，到了康托發現集合論這一工具時。
該公理只適用於有限集合上，而在一些無窮集合與它的無窮子集合之間存在一一對應關係，即這兩個集合的基數相等。例如自然數集合與它的子集合偶數集合之間存在一一對應關係。
2樓：滄海一樹
不請自來一波
對於一道英語七選五，你亂蒙則矇對題數的數學期望是七分之五。
M選N（規則同七選五），則蒙對數的期望是M分之N。
證明不難，留給讀者
3樓：helloender
說乙個簡單的吧
皮克定理
給定頂點座標均是整點（或正方形格仔點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積A和內部格點數目i、邊上格點數目b的關係：A=i+b/2-1
用乙個簡單的例子，3x3的正方形，內部格點數目i=4，邊上格點數目b=12，面積A=4+12/2-1=9
注意一點，這個格點多邊形，不單單是三角形，正方形等等規則的，只要頂點都落在格仔上就行，甚至可以是凹多邊形。
4樓：
群同態基本定理.
給定兩個群
和他們之間的同態
那麼他們之間的同態對映的核就可以看作是"正規子群"
用這個正規子群模掉原來的群G得到商群
這個商群就和原來這個群的像是同構的
也就是滿足雙射
即他們是一一對應的。
舉乙個例子，求非齊次線性方程組Ax=y的解由於A是乙個矩陣，其實可以看成乙個線性對映，這個線性對映保持加法，保持純量乘法。
所以這個線性對映是乙個"同態對映",x屬於m維的向量空間，y屬於n維的向量空間
(其實線性對映是對於向量空間而言的
同態對映是相對於群，環，域，這些代數範疇而言的)對應的齊次線性方程組的解就是kerA
用kerA模掉V就得到商空間V/kerA
商空間中的乙個元素
其實就是乙個特解加上kerA中的乙個元素
a+T,T屬於kerA，
這個元素和像空間中的元素是一一對應的
也就是說非齊次方程組的解集合和給定的y(增廣矩陣中的列向量)是一一對應的
給定乙個y，就能得到非齊次方程組的乙個解的集合。。。
當然群同態基本定理由於高度的抽象性。適用性就很廣。。所以這裡只簡單的舉出了乙個例子，其他例子也可以自行舉出。
5樓：宙宇001
神奇結論1：每乙個able數域會包含在乙個分圓域中神奇結論2：存在乙個有理多項式，他的根不能通過加減乘除和開根運算表示出來，但是通過橢圓模函式可以表示
神奇結論3：乙個函式黎曼可積等價於該函式幾乎處處連續神奇結論4：高維單位球隨著維數增大體積會趨於0神奇結論5：
存在處處連續處處不可導的函式看大家有興趣再更，祝各位數運昌隆。
6樓：長在樹上的雲
牛頓-萊布尼茨-高斯-格林-奧斯特-斯托克斯-龐加萊公式:
在p維流形上的積分與它的p-1維可定向邊界上的積分有如下關係:
個人覺得這個公式完全可以與尤拉公式媲美。
7樓：魯新奎
幾乎絕大多數神奇的數學結論都是悖論，比如芝諾悖論、貝克萊悖論、希爾伯特賓館悖論、分球悖論……。都是人類依據錯誤的邏輯前提詭辯出來的，思維遊戲而已。
8樓：姜濤
宇宙最大的數是零，缺少公式支援，只是一種哲學上的直覺。也有這樣感覺的嗎？
奇點無限接近於零。
零是一種特殊的自然數。
宇宙不是按照二進位制或者人類的十進位制執行，是一種混沌進製。無限大與無限小同時發生互相證明。
9樓：Taffy Chong
之前看到過的印度古老的很懸的驗證乘法是否算對的方法。
第一步將每乙個乘數每一位數加起來，如果得到多位數我，繼續想加，直到得到個位數
第二步將得到的兩個乘數的個位數相乘，如果是多位數，繼續相加，直到得到個位數。
第三步將算出來的結果每位數相加，還是得到個位數
第四步比較得到的兩個個位數是否相同，若相同，該式子99%得到正確結果，若不同100%錯誤。
舉個例子
4593*7892=36248906
開始驗證
4593：4+5+9+3=21 2+1=3
7892：7+8+9+2=26 2+6=8
3*8=24 2+4=6
36248902：3+6+2+4+8+9+0+2=48
4+8=12 1+2=3
我們得到3≠6，故結果一定錯誤
再次算一遍得36247956
各項相加=42 在加一次=6
因為6=6所以此結果正確
這個法子是我之前無意中看到的，感覺真的很神奇，但是說不出來是為什麼，僅可當做多位數相乘時的檢驗。
10樓：Zorualyh
Kolmogorov 0-1 law
大概意思就是說，remote event的概率要麼是0要麼是1。比如丟硬幣丟無限次，出現無限次正面的概率要麼是0要麼是1。
11樓：喵喵喵
不算很神奇，不過看很多人將自己偶然發現乙隻定理的故事我也講乙個。
初三的時候看一道高考題的時候題意理解錯誤。原題大概是說有五個男生三個女生要選出四個人且女生不超過兩個的概率是多少。我漏了女生不超過，於是意識到這個可以有兩種演算法，所以有個組合恒等式，當時還不知道這個叫組合恒等式。
後來知道是范德蒙恒等式感覺自己生太晚了。當然現在覺得自己還是太弱了。
12樓：執悲今厄
選擇公理帶來的一系列結論。
這是在我眼中唯一真正神奇的一類數學結論，因為我尚未找出這類結論存在的緊緻原因。
它們闡明了許多方案的存在性，然而，卻無法找到那些方案的內容。
對於乙個過程來說，『存在＝可知』這個等式究竟是否正確？我知道對於乙個內容來說這個等式不正確，但對於過程，很難相信。
13樓：135環己三烯
說乙個之前學初等動力系統時無意間發現的。很巧妙。感覺像是尤拉定理之類的。
令 ， ，則
n是素數的情況就是費馬小定理。
當時是在學離散動力系統 。然後考慮函式 有 k 個不動點（週期 1）。我們說乙個點 有週期 n，如果 。
那麼容易有週期 n 的點一共 個。但是這 點中，並非所有點的最小週期都是 。比如，週期為3的點自然6也是它的週期。
那麼我們只留下最小週期為 的點，數量稱作
即有。自然，這些點的數量是要被 整除的，因為對於最小週期為 的點 ， ， ，... ， 也都具有最小週期 。
這 個點構成了乙個「軌道」。顯然，軌道的數量是整數個，所以應當有 。
14樓：張謙蛋
有時候一些簡單的定理也能體現數學的神奇，比如乙個定義域對稱的函式可以寫成乙個奇函式與乙個偶函式之和。
這條定理的證明非常簡單，在我們高一學完奇函式與偶函式之後就很容易想到。但是這條定理背後也非常有意思：乙個定義域為實數的函式，總是可以表示成乙個奇函式和乙個偶函式之和的。
我們可以用常見的y = e^x 來看看：
圖中綠色的線與紅色的線之和就是藍色的線——指數函式的曲線，而綠色的線是乙個偶函式曲線，紅色的線是乙個奇函式曲線。
我們放大看看：
可以看到，在負半軸兩個分解函式和幾乎為0，而正半周上兩分解函式值幾乎相等，也就是指數函式的一半。這其實直觀的驗證了指數函式的許多性質。
事實上，我們可以簡單的將乙個函式這樣分解，比如指數函式的例子中的三個函式實際上是
我們也可以將這條定理推廣，任意乙個函式都可以被分解為大於0的任意多個奇函式和任意多個偶函式之和。
或許這種與平淡中見無窮才是數學之美。
15樓：月來雲破
所有自然數之和等於-1/12
證：設S=∑N
因為1/（1-x）=1+x+x^2+x^3+……(通過泰勒展開可得)；
易得1/（1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+……；
令x=-1則1/4=1-2+3-4+5-6+……；
則1/4=1+2+3+4+……-2*（2+4+6+……）；
則1/4=S-4S；
則S=-1/12
16樓：
如果乙個等差數列有奇數項，那麼奇數項之和比上偶數項是(n+1)/(n-1).
三角形中，如果沒有90度，那麼tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.
17樓：成湯鹹
Thurston在2023年提出，並於2023年由Perelman證明。而著名的龐加萊猜想（Poincare Conjecture）則是其簡單推論。btw龐加萊猜想的證明我在文後寫了乙個簡短的證明思路。
不過首先，我們需要知道三維流形的素分解定理，而這本身也是乙個非常神奇的結論。
眾所周知，乙個正整數可以被唯一分解為一些素數的積，比如 57=3*19。而素數則是那些不能再被分解的數，於是我們可以把素數看作整數的乙個基本單位。而三維流形（下文預設可定向）中，則存在著完全類似的情況：
素分解定理（Prime decomposition）：
於是我們可以轉而考慮「素流形」，或者「不可約流形」（事實上可定向素流形只比不可約流形多乙個 ），而「不可約流形」又可以被tori分解為一些更小的基本塊（JSJ /geometric decomposition）。
而當我們再考慮這些「基本塊」的時候，幾何化猜想宣稱：
幾何化猜想（Geometrisation Conjecture）：
下面我們就可以證明龐加萊猜想了：
龐加萊猜想（Poincare Conjecture）：
證明：不妨假設M是素流形（根據素流形定義及其素分解的基本群性質）.
由於單連通，基本群平凡，所以沒有不可約tori，即M是基本塊（JSJ分解定義）.
於是M有8種幾何結構之一（幾何化猜想）.
而根據我們對8種幾何的了解，基本群有限的只能是 .
於是 ，其中 是乙個離散且作用自由等距群，（由定義）,
而 平凡（復疊對映性質）.
所以 btw，我覺得「流形」這個翻譯本身就很神奇。出自《易經》「幹」卦的彖辭：
大哉乾元，萬物資始，乃統天。雲行雨施，品物流形。大明始終，六位時成，時乘六龍以禦天。乾道變化，各正性命，保合大和，乃利貞。首出庶物，萬國咸寧。
附一張北大全齋的對聯：
天道幾何，萬品流形先自守。
變分無限，孤心測度有同倫。
18樓：開穹
火鍋盆火鍋盆保齡球
枕頭不倒翁
兒童塗鴉
布朗運動貌似也能用函式表達
海螺棉帽
脊椎莫比烏斯帶，貌似不是
鳥巢埃舍爾樓梯
所以說，數學是上帝的語言，學好數學更能接近上帝？
由於時間關係，函式與影象的對應或許有誤，望有緣人指正。
19樓：AfterPhilosophy
下面列舉一些，有的直接來自於教材，有的證明是簡單的，而有的是大定理。
對於所有的群G，存在乙個空間X，它的基本群就同構於G.
對於道路連通的緊緻度量空間，它的基本群要麼是有限生成的，要麼是不可數的。
二維定向曲面必有復流形結構。
復射影空間中的解析閉子空間是代數的。
對於無撓仿射聯絡空間，可以利用法座標在定點消除聯絡係數(引力效應)。
可積Hamilton系統在小擾動下不變環麵大部分保持，n體問題可以有穩定解。
2維近復流形總可積，4維及以上近復流形總有不可積近復結構。
任意乙個光滑流形都是高維歐氏空間的嵌入子流形。任意緊李群都是正交群的子群。任何空間都可以作為某個空間的同調群平凡的嵌入子空間。
有限維李代數零元附近總是區域性李群，有限維李代數總是李群李代數。
如果X有通有復疊，在同構意義上它所有道路連通的復疊與基本群的子群一一對應。甚至於復疊的正則性也由子群的正規性決定。
丟番圖逼近可以和齊性空間中的動力系統對應。
n維球面上自由作用的有限群必須滿足交換子群迴圈，或者階數為2的元素最多只有乙個。反之，滿足這些條件的有限群必自由作用於某個n維球面。
Kahler流形上的全純自同態在上同調群上的匯出對映的譜半徑等於其拓撲熵。
非常神奇的物理結論有哪些？
硫化碳CS 光滑水平面物體m1 m2分別以v1 v2發生碰撞假設非彈性碰撞時 粘一起 合體的速度為v。假設彈性碰撞時 碰撞後，m1 m2速度為v1 v2 有 2v v1 v1 v2 v2 illlight 如圖 沒帶數字板，諒解一下 地面光滑，質量為m1的物塊初速度為v，經過一段時間後會與質量為m2...
有哪些數學證明非常有趣？
金閃閃 在知乎看見的，忘記出處了 令S 1 1 1 1 1 1 無窮多個 問S等於多少？答 S 1 2 證明 S 1 1 1 1 1 1 無窮多個 則1 S 1 1 1 1 1 1 無窮多個 所以S 1 S 所以S 1 2 好地方bug 居然沒有人說Chomp。Chomp是乙個兩人的組合博弈，有乙個...
高中數學有哪些用起來很爽的結論或者高等公式。？
嚶嚶怪 總有人幻想著學個什麼高階的公式就能秒殺高考題。不過也還好，高中就三年，三年過去幻想就破滅了。亂七八糟的公式背再多，你到最後也用不上。 宋超 太多了我嚴重懷疑你就在等我的回答！千萬別傻傻算，各種題型方法技巧用起來啊 高考數學遇到題目沒思路，不要慌考場最強偷分技巧拿走不謝 高考數學選擇題 填空題...