1樓：
測度函式和度量函式都是非負的，都滿足三角不等式。
非常不嚴謹地說，測度是描述集合的大小，度量是描述元素之間的距離。
不知道題主是不是想問這個。
2樓：anderson
幾位已經把測度空間和度量空間定義個性質都詳細地介紹了，我來說說測度空間和度量空間的區別和聯絡。
首先，我想說一下測度與度量的區別。測度是針對集合去測的，集合作為乙個整體，研究的物件是集合而度量是針對集合裡面的元素，與元素之間去測度量的，研究的物件是集合裡的元素。
其次，存在度量測度空間，這個空間中既有度量又有測度，可以構造出這樣的空間也就是題主問的誘導；
(1)對乙個測度空間（X,F,u）u<∞，以任意兩個元素A,B（A∈F,B∈F）的對稱差的測度作為ρ, ρ=u(AΔB) ,可以驗證ρ滿足正定，對稱，三角不等式，所以ρ是乙個度量。
(2)對於任意個點C，度量ρ(C,C)=0，凡是與C距離=0的點都看作是同乙個點，這些點構成乙個等價類，所有的等價類把F做了乙個劃分形成乙個商集，記作F~ ，則可以證明(F~,ρ)是乙個度量空間。
(3)進一步可以證明度量空間(F~,ρ)具有完備性和可分性。
(F~,ρ)稱為有限測度誘導的度量空間。
3樓：
從概念上而言，兩者沒有互相蘊含的關係。
度量空間滿足度量空間三條公理的乙個函式。
測度空間一般是指下列的三元組:
其中是上的乙個所謂 -代數 (sigma algebra)，是上的乙個測度。一般而言可以在「沒有定義開集」的情況下構造測度空間，這樣一來測度空間上面就沒有了拓撲結構。而度量空間可以定義形如為其上面的開集，因此度量空間自然地就成為了乙個特殊的拓撲空間。
另外，我們當然可以在度量空間上構造 -代數以及測度。例如：計量測度(counting measure) 等等。
所以度量空間與測度空間之間並沒有邏輯上的蘊含關係。
4樓：
我的理解是乙個度量空間本身是乙個拓撲空間，其通過函式定義了距離，從而誘導出最「自然」的開集和拓撲，即所謂 「wiggle room around the edges」。而有了的拓撲，我們就可以生成 Borel -代數：
, where
即是包含了拓撲的最小-代數。
當為乙個-代數時，被稱為乙個可測空間，如果函式具有可列可加性，則被稱為上的測度。此時就被稱為測度空間。特別地，當，時，可以證明存在唯一的 Borel 測度使得：
對於任意的成立，而這其實就是實在線的勒貝格測度（Lebesgue measure）。
5樓：
沒什麼關係。
（如果在度量空間裡加個原點，然後把元素到原點的距離稱為元素的「大小」的話）
度量空間主要描述的是元素本身的「大小」。
測度空間主要描述的是若干元素組成的子集的「大小」。
6樓：yuyu
其實沒什麼關係, 只是名字比較像.
粗略地說,度量空間是能在上面定義收斂, 連續概念的空間, 比度量空間更一般的空間是拓撲空間, 在拓撲空間上也能定義收斂和連續概念. 而測度空間是能在上面定義(Lebsegue)積分的空間.
定義.(度量空間) 是乙個集合, 其中的元素叫作點, 連同乙個距離函式或度量, 它把中的每一對點指派到乙個非負的實數, 而且度量必須滿足下述四條公理:
對於任意的, 有.
(正性) 對於不同的, 有0" eeimg="1"/>.
(對稱性) 對於, 有.
(三角不等式) 對於, 有.
在很多情況下, 度量是明確的, 從而我們把簡寫為
例.(實直線) 設是實數集, 並設是度量, 那麼是度量空間, 我們把叫做上的標準度量.
例.(Euclidean 空間) 設是正數, 並設是元有序實陣列的空間:
定義Euclidean度量(也叫作度量) 為
定義.(-代數) 設是集合, 乙個在上的-代數是的子集族滿足下述性質:
(空集)
(補集) 如果, 那麼它的補集也在中.
(可數並) 如果可數個集合, 那麼它們的並集.
我們把集合和在其上的-代數組成的序偶叫做可測空間(measureable space).
例.給定任意集合,平凡代數和離散代數都是上的-代數.
例.(Lebesgue 代數) 設是的所有Lebesgue可測子集構成的集合, 那麼是上的-代數.
定義.(可數可加的測度) 設是可測空間, 在上的可數可加的測度,或簡稱為測度, 是乙個對映滿足下面公理：
(空集) .
(可數可加性) 是可數個互不相交的可測集序列, 那麼.
三元組, 這裡是可測空間以及是可數可加的測度, 叫做測度空間.(measure space).
注意測度空間與可測空間的區別, 可測空間是能在上面定義測度, 測度空間是已經在上面定義了測度.
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