1樓：jgroot
在Mark Levi所著的the mathmetical mechanics中有乙個物理方法的證明可以幫助理解塞瓦定理的物理意義
水平面上有乙個輕的三角形板ABC 在三個頂點處固定三個質點使其質心位於三線交點（這是顯然可以辦到的） 這樣我們就可以用一根針頂住三線交點而使平板平衡
2樓：煮酒
梅氏定理刻畫的是三點共線，在處理線段比例上與角度比例上有奇效，尤其是配合上正弦定理和相似。塞瓦也一樣，只不過是刻畫了三線共點。
3樓：王銳騰-return
兩者之間的聯絡，題主可以看一下我寫的一篇文章https://
zhuanlan /p/62300472
至於兩者的實際作用呢，梅涅勞斯經常用於證明三點共線，塞瓦定理經常用於證明三線共點。實際上你也可以理解為一條線在三角形三條邊的投影。
4樓：
感覺好有意思啊，然後自己也試著挑戰一下，不要笑哦我數學很水的，，，結果發現定理的本質是一樣的過程。
剛開始啊，第一反應當然是想到直角座標系啦，不過我不會計算，愁死了。
然後想到什麼相似啊面積啊一下子沒找到，但是 這個形式總讓我想到一種特殊的 ，結果還是回到面積上來了，或者說是向量中的叉乘。
這樣一相乘，不等於1才怪呢！另外乙個也是一樣的哦。只不過G點跑到邊上去了，，，，，，然後這不就是顯而易見麼，，，
由於直線，所以1+2+3=180度，所以
這個好像比上面那個還要簡單一些哦。。。。。。
問題的關鍵是G點、和180度被分成三份的角度1，2，3
那麼現在來看看問題的本質是什麼？
首先有乙個三角形正弦定理了解一下》
由這個定理可知》
然後由3+4=180度》
所以在化簡後》
可以得到最關鍵的部分》
5樓：philos
可以用來證明：位似變換w1的位似中心，位似變換w2的位似中心，以及復合位似變換w1w2的位似中心共線
上面這個命題大概是對數學界之外的很多地方都很有用
6樓：PeaucellieRay
感謝知乎知識庫的這個有趣提問。梅涅勞斯定理和賽瓦很有用、很常用，是初高中競賽中直接能用的常用定理。
下面我將介紹梅涅勞斯定理、塞瓦定理和它們的推論及拓廣。
寫在前面：兩定理是怎麼發現的無從考證了，至於怎麼證明的呢……是小學四年級奧數的難度
是D、F、C三點共線的充分必要條件。（向量除法不嚴謹，先不管它，一般寫成標量形式，結果是1）
是 共線的充分必要條件。
證明：同理：
運用梅涅勞斯定理可知，上三式相乘為1表明結論成立。
是 共線的充分必要條件。
證明：同理可得另外兩個因式的表達方法，三式相乘為1，梅涅勞斯定理表明結論成立。
這些點均是同一球面上的點，PQR共測地線，則
證明：不會……
（注：該定理是第乙個運用到梅涅勞斯定理的結論，證明人是梅涅勞斯，原定理發現者未知）
定理一：
一直線截平面四邊形ABCD於 ,則
證明： 對 用梅涅勞斯，
對於 同樣，得到兩個式子相乘即可。
定理一的推廣、拓廣定理：
對於平面多邊形 被一直線所截，交於 ，則
證明同上。（ 3" eeimg="1"/>逆命題不成立）
定理一的推廣定理的空間形式：
對於空間封閉折線 ,平面 交直線 於 ,則
證明：過折線頂點作平面的垂線於 ,注意到 共面，仿照平面情形即可。（圖形和詳細過程略）
定理二：
對於空間四邊形ABCD邊上有點 ， 共面的充分必要條件是：
證明：不會……
定理三（梅涅勞斯的拓廣定理）：
在 三邊上，
則 .證明：
同理：定理三的推論1:
M是 內一點，D、E、F是AM、BM、CM與BC、CA、AB的交點， ,則 .
定理三的推論2：在 三邊上， 則 .
AA'、BB'、CC'三線共點或平行的充分必要條件是
證明：略AA'、BB'、CC'三線共點或平行的充分必要條件是
證明：同理，三式相乘，由塞瓦定理知結論成立。
外接圓上又A'、B'、C'分別在劣弧 上，AA'、BB'、CC'三線共點的充分必要條件是
證明：運用正弦定理和角元塞瓦即可。定理1
是四面體 稜 上的點，平面 共點，則
證明：設交於O，AO、BO、CO、DO交對面於 ，所以
交於 ，所以
同理相乘即可
定理2：E、F、G、H、M、N是四面體 稜 上的點， 中有三個成立，則平面 共點。
證明：略
定理二的推論1：過四面體一條稜重點的六個面共點（重心）
定理二的推論2：四面體中每個二面角的平分面共點（內心）
定理二的推論3：四面體三組對稜分別互相垂直，則過每條稜作對稜的垂面，這六個平面共點（垂心）
定理三：
P是四面體 內一點， 是 和面 的交點。則
證明：首先給出乙個引理（角平分線性質推廣）：設四面體 中E是AP和平面BCD的交點，則 （證明略過）
回到原命題，
又 同理
即可。，則
證明：CFR對 用梅涅勞斯定理，
同理 得證塞瓦（Ceva）是義大利幾何學家、水利工程師，Ceva定理載於《關於直線》一書中，用幾何方法和基於靜力學規律，從不同角度證明這一結論，並且與他重現發現的梅涅勞斯定理一同發表，流傳至今。
梅涅勞斯（Menelaus of Alexandria），是古希臘亞歷山卓後期的數學家、天文學家，三角術創始人之一（球面三角術）。寫過六本關於圓的弦的書，但失傳了，只保留了一本《球面論》。球面梅涅勞斯定理是研究球面幾何的最基礎定理之一。
《幾何瑰寶》沈文選、楊清桃，哈爾濱理工大學出版社
7樓：mast
其實，在競賽中，這兩個定理使用的不算很多，尤其是標準答案中。但兩個定理確是非常重要的。因為這兩個定理可以把幾何問題轉化為代數問題
結合圓冪定理，和面積關係等，用代數方法推倒線段的長度關係。
8樓：UsernameRedacted
好多年沒碰過數學競賽了……對著維基百科強答一波吧……
梅涅勞斯定理（Menelaus' theorem）一般認為是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的，但實際上目前還不確定是誰首先發現了梅涅勞斯定理。現存最早的關於此定理的內容出現在梅涅勞斯的著作《球面三角學》中。在這本書中，該定理的平面版本被用作證明其球形版本的引理。
梅涅勞斯定理的內容如下：
考慮一直線與 的邊 、 、 或其延長線分別交於 、 、 ，則有：
情況1：直線LNM穿過三角形ABC
情況2：直線LNM在三角形ABC外面
證明如下：
由正弦定理， ， ， 。
因此也即 。
Q.E.D.
塞瓦定理（Ceva's theorem）最先由義大利數學家喬瓦尼·塞瓦證明。其內容如下。
考慮 的 、 、 三條邊或其延長線上有點 、 、 。若 、 和 交於同一點 ，則有：
情況1：三條線段的交點O位於三角形ABC的內部
情況2：三條線段的交點O位於三角形ABC的外部
證明如下：
同理 ，
因此 Q.E.D.
需要注意的是，塞瓦定理的逆定理也成立：
若 、 、 分別在 的邊 、 、 或其延長線上（都在邊上或有兩點在延長線上），且滿足 ，則直線 、 、 共點或彼此平行（於無限遠處共點）。當、 、 中的任意兩直線交於一點時，則三直線共點；當、 、 中的任意兩直線平行時，則三直線平行。
至於實際應用……我只知道高中數學競賽的幾何題裡這倆是最基本的定理……
參考：
梅涅勞斯定理 - 維基百科，自由的百科全書
塞瓦定理 - 維基百科，自由的百科全書
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