1樓：可能是小帥航
不妨令全體正整數為集合A
全體正整數中的偶數為B
顯然B包含於A
下證B真包含於A 即B≠A
不妨考慮「3」
3屬於A，不屬於B
證畢即B集合中的任一元素都屬於A
A集合中存在不屬於B的元素
某種意義上可以說A集合比B集合「多」
2樓：王者
一樣的，因為乙個正整數可以有乙個對應的偶數y=2x (x∈N+)
也就是說對於無限集中只要能找到一種對應關係就說兩者相等，是一種集合的對映。
再舉個例子，(0，1)區間上的點和(0，+∞)上的點一樣多，構建對應關係y=tan(π/2x),(x∈(0,1))即可實現
3樓：莫小小
討厭公式的可以直接跳到末尾.
直覺肯定是正整數多啊
我們先考慮如何將題主認為的正整數"多"化成符號語言:
對於乙個 , \mu(2\mathbb Z^+)" eeimg="1"/>,其中 是全體正偶數集合.
直覺上認為,正偶數佔正數的二分之一,而我們可以對性質良好的集合定義漸近密度.
,其中容易證出 ,且 .
但是有乙個嚴重的問題,存在一些性質非常差的集合,不能定義漸近密度:
, 容易驗證
於是我們想,能不能有乙個 ,滿足
; (空集密度為0)
; (補集密度和原集合的相加為1)
(容斥原理)
(直覺)
只要證明了 的存在性,我們就能漸近地認為正整數比正偶數多恰好一倍.
為了構造這樣乙個 ,我們定義等價關係 s.t. iff , 其中 代表對稱差,即 .反身和對稱性顯然. 傳遞性考慮 (其中 )即可.
然後,記 ,每乙個陪集取乙個代表元組成集合 ,定義 ,我們得到了乙個定義好的 .
結論:漸近密度推廣是良定義的,所以我們可以從這個角度說正偶數比正整數多一倍.同時,其他答主會提到集合的勢,從這個方面考慮它們兩個一樣多.
4樓：
首先你得接受對於無窮集合，「多」和「少」的定義和有限集合不同。打個比方，張三說我家車多，李四說我家車多，然後兩人比比。張三開出來一輛車，李四也開出來一輛車。
然後兩人這麼一人一輛車地比，到最後張三家的車開完了，李四家還有車，這就是李四家的車比張三家的車多。這是有限集合的比較。
對於無限集合，張三拿乙個正整數出來，李四拿乙個正偶數出來，兩人這麼一人乙個數地拿，誰也不會用完自己的數，有限集合那套誰剩下誰多的辦法就不成立了，所以你不能說張三比李四多。那麼張三不服氣，說你李四每拿乙個偶數出來，我可以拿兩個整數出來，所以我是你兩倍。但是李四也可以說你張三每拿乙個整數出來，我可以拿兩個偶數出來。
又是平局。
為什麼無窮集合採用這種方法來定義多少？第乙個原因是邏輯自恰。第二個原因我覺得更重要的是實際應用。
物理世界並不存在無窮集合。人類構造出無窮集合只是為了逼近有限。經常出現的逼近有限場景比如說像「對於e我們總能找到乙個充分大的n使得f(e,n)成立」。
在這種場景下面，關鍵的性質是e和n之間的「你拿乙個我也能拿乙個」的對應關係，而不是「你家的車開完了，我家的車還剩」這樣的剩餘關係。
我比較不贊成老師問「正整數和正偶數」哪個多這樣的問題，使用「多」這樣的概念有意混淆有限集合和無限集合的不同，實際給學生帶來了混亂。直接問「正整數和正偶數是否等勢」，然後走定義不是挺清楚的嗎。
5樓：奕銘
兩個無窮集合對比，嚴格說法不可能說兩個無窮集合元素一樣多，我們只管這種「一樣多」叫「等勢」，或者叫基數相同，所以你是被「一樣多」這三個字給騙了，「正整數和正整數中的偶數一樣多」這個說法嚴格說來是錯的，「一樣多」這三個字只能用來比較有限集，就好比你不能說今天的天氣和昨天一樣快，因為「快」這個字形容天氣本身就沒有意義。就算為了不懂數學的人理解，也要給這個「多」加乙個引號，以表示和日常語境中的多不是乙個事。
數學有其自己的語言，不要望文生義，與這個問題類似的，還有日經問題 ，為什麼所有自然數之和是 ？因為這裡的「和」，與你理解的「和」已經不是乙個事了，那個「=」表達的意思也不是你以為的意思。
所以，這句話對於懂一點數學的人來說，知道它是在問「正整數與正整數的偶數這兩個集合哪個基數更大？」答案當然是一樣大；對於不懂數學的人來說，這就是個文字遊戲而已，本身問題就是錯的：「今天和昨天的天氣哪個快？」
6樓：
你們老師講這裡應該是在講勢吧，數學上研究集合元素個數引入乙個叫勢的定義。等勢定義為，存在從A到B的乙個一一對映也就是雙射，稱A和B等勢。f(x)=2x這是乙個雙射，所以是等勢的。
|A|小於等於|B|的定義是存在A到B的乙個單射。 你後面寫的那個1，2到2，2，3到4，這要是要證明正整數比較多，根據定義，是要做乙個正的偶數到正整數的對映，簡單說是要根據定義去證明。這裡提到的正偶數是A，正整數是B。
也就是2到1，2 ，4到2，3 ， 對映不能把同乙個元素對映到兩個不同的像。主要是定義你沒記清楚。
|A|小於|B|的定義是，A到B的對映，是單射但不是滿射。還有個等價定義是是單射但不是雙射。
你們老師應該講了勢的定義啊，你好好看下老師講的定義。
7樓：
感覺這些東西離我很遙遠了簡單說一下從勢的角度都是阿列夫0 並且建立一一對映所以一樣多並且他們也都是0測度但是有人看到總會說2N*是N*的真子集那麼應該它比他多注意這是有限集的理論簡單來說在這種可列集合上面就有伯恩斯坦定理這種東西可以去說明
順便有人說Q_p比Q多那是自然的它們勢都不一樣 Q勢為阿列夫0 而Q_p是阿列夫1 當然說Q_p和R的關係我印象中是R在某個約束下是最大的完備序域然後在都是阿列夫1的時候我們又喜歡比測度發現測度一樣的時候我們依然還得通過找一一對映總而言之就是這樣
8樓：清歌
正整數多。
正整數中奇數＋正整數中偶數=正整數
正整數中奇數＞0，那正整數中偶數就等於正整數減去某個大於零的數，肯定小於正整數。
狗頭逃走。。。。
9樓：Kawai
很多人都覺得因為整數包括奇數和偶數，所以正整數多於正偶數，但是其實它們是一樣多的，每乙個整數乘以二后，都對應乙個偶數（無可否認），所以在無限大的區間上，正整數是和正的偶數一樣多的。
10樓：夢羽靈泉
感覺題主應該是高中講數列集合的時候的疑問，那就應該用高中的知識儲備來作答，畢竟真的學到了實變函式學十遍，泛函分析心泛寒的時候也不會問這個問題了
很多人都在說定義，其實這不是定義的問題，定義沒問題，問題是無窮的定義下為什麼會「多出來」卻相等
這就是直覺出問題了
具體的更細緻的解答可以看看一部非常優秀的科普讀物《從一到無窮大》的第一章，講的就是這個
這裡講講你的「每兩個和乙個對比」的想法，你會覺得我在兩個平行列上，其中乙個每乙個數上都加乙個數，比如說本來1對2，現在（1、2）對2，那肯定是前面多出來了嘛，每一組都多出乙個嘛對不對
但是老師的方法是直接無窮列乙個乙個比，沒有直接解釋「多出來的去哪了」（其實直接對比和解釋是等效的，但是不直觀而已）
直觀的解釋的話，這裡我們要引入乙個概念，這個概念對於無窮集合來說很重要——
希爾伯特旅館
是上個世紀最偉大的數學家之一大衛希爾伯特先生提出的，這個概念就用以解釋你說的，明明每組都多乙個，為什麼結果卻相等？多出來的去哪了？
我們知道，乙個無窮列，乙個乙個數，數到無窮遠就數到無窮大（其實這麼說不嚴謹，因為永遠數不到，但反正你理解就行）
那麼假設希爾伯特先生開了乙個旅館，這個旅館有無窮多個房間，每個房間都住了乙個客人，那麼這個旅館就一對一地住了無窮多個人
但這個時候，又有乙個人要來住店，可是店已經客滿了怎麼辦，這個客人還蠻不講理，說老子有錢老子就是要住，怎麼辦？
希爾伯特先生就很聰明，他就把第乙個房間的客人，挪到了第二個房間，然後把第二個房間的客人，挪到了第三個房間，把第n個房間的客人，挪到了第n+1個房間，因為房間有無窮多個，雖然客人也有無窮多個，但是每乙個客人，都有他的「下乙個房間」。也就是說，這個動作可以無限地順延下去，同時還保證每個客人都能住到「下乙個房間」裡面去
神奇的地方來了，這樣已經入住的每個人都不用讓出房間，但是第乙個房間，卻空出來啦
這個時候新來的客人就能大搖大擺地走進去了
你永遠不用擔心「最後乙個客人沒地兒住」因為根本沒有「最後乙個客人」
這就是你說的「直觀上矛盾的地方」，因為你會覺得會有客人沒地兒住，但是因為無窮大的無限順延，實際上不會發生這種情況
那麼對於房間數而言，你就發現了乙個偉大的現象——
無窮大+1=無窮大
那麼如果來了兩個客人呢？你肯定想到了，就是把第乙個和第二個人，放到第三個第四個房間裡去………………
於是無窮大+2=無窮大
那麼如果又來了和原來房間一樣的，無窮多個客人怎麼辦，也就是你說的，看起來每個房間都多了乙個客人，怎麼辦？
既然你覺得你老師的方法沒漏洞，這個時候只要按照你老師說的方法，把每個房間的客人，搬到這個客人房間號×2的偶數房間裡面去，你會發現，每一次偶數對應都能為你空出乙個房間，於是無窮個房間都一一對應地空出來啦
於是你會發現
若無窮大①=無窮大②
無窮大①+無窮大②=無窮大③
那麼無窮大③也=無窮大①和②
這就是你直覺上覺得「多出來的單位往哪放」的答案
11樓：ziang
構造兩個對映
乙個從正整數對映到正偶數，f=2x
乙個從正偶數對映到正整數，g=0.5x
易證f和g都是單射，所以正整數和正偶數的勢，也就是大小，相等
12樓：時空奇點
對於題主的疑問，我個人是這樣理解的。
對於兩個集合A，B，如果存在乙個從A到B的一一對映，我們就定義為這兩個集合的元素個數相等。
那麼按照這個定義，如果要證明兩個集合元素個數相等，構造乙個它們之間的一一對映即可。
但如果要證明兩個集合元素個數不相等，我們需要的是證明不存在這樣的一一對映（比如證明實數和整數不一樣多），而不是通過構造說明它們之間存在除了一一對映以外的其它對映。
13樓：王好
我聽說個例子，不過不保證完全精確：假設教室有n個凳子，現在進來一批人，之後每個人都坐上凳子，而且沒有空的凳子（一一對應），那麼有多少人？
答案是n個人，與凳子數目一致。正整數也能和偶數一一對應，所以數目一樣。
以此類推，正整數和自然數（包括0）誰多？還是一樣多，雖然看起來後者多了個0.
正整數和整數誰多？一樣多，雖然表面上後者多了兩倍，而且多了個0
3個正整數之和等於10，有幾組這樣的正整數？
9老師cirnos 在小學奧數範圍，以上題目屬於計數體系中的拆數問題中的 和定無序拆三數 和定無序拆三數 是我自己總結的哈 以下是列舉法 再來乙個先有序再除序的 插板法 除序法 題主問到了推廣方法，我引用另乙個問題 其中我推薦 Ramune 的回答 把 100 拆分成 4 個正整數之和，有多少種拆分...
小於正整數n且與n互質的正整數之和是多少？
小雨可白 先說結論 首先，有乙個顯而易見的結論 即 這個結論的證明留在最後 那麼當 與 互質時 其中 便有 與 互質即 小於 且與 互質的數共有 個 其中 那麼令這些按從小到大的順序分別為 將其雙雙組合為 此時 根據最初提到的結論，容易發現對於任意的自然數 有 去重之後，這樣的 共有 個 故 對於 ...
怎樣建立正整數對 x, y 與正整數之間的一一對應？
已重置 這個公式在很多教科書上都有記載，是康托配對函式 https zh.wikipedia.org wiki E9 85 8D E5 AF B9 E5 87 BD E6 95 B0 的變形，但往往不給出背後的動機。在我所見的記載這一公式的教科書裡，最有名的一本是哈代的 純數學教程 在第1頁，是留給...