1樓：[已重置]
這個公式在很多教科書上都有記載，是康托配對函式（https://
zh.wikipedia.org/wiki/%
E9%85%8D%E5%AF%B9%E5%87%BD%E6%95%B0
）的變形，但往往不給出背後的動機。在我所見的記載這一公式的教科書裡，最有名的一本是哈代的《純數學教程》，在第1頁，是留給讀者的第乙個練習：
。其實這公式來自於乙個很經典的構造，其幾何直觀就是把有序對排成以下的左上三角陣列：
再觀察這種每一行都處於不同高度的層壘結構，明顯數字較大的有序對只能「住在」相對較高的「樓層」上，以及相對較高的「樓層」上有相對較多的「單元」且住滿了「房客」。我們以下的構造就是這種直觀的形式化和具體的量化：
嚴格的敘述如下——
首先，對於任意的正整數有序對，定義等高集：，其中正整數稱為有序對的高度。
其次，等高集具有如下性質：
1.【任意正整數有序對都屬於某一等高集】使得（由高度的定義直接看出）；
2.【不同高度的等高集無交】（由自然數和的唯一性，或者說加法運算的良定性直接得證）；
3.【等高集的階/勢等於高度減1】（用歸納法）。 因此，有以下命題：
高度小於的正整數有序對的數量為——。（利用有限集之有限並集的基數在兩兩無交情形下的特殊情況，以及等差數列的求和公式，【或者從直觀的左上三角陣看出這就是第個三角形數】即可證明） 最後，代入高度的定義，再將中的元素序對按照的公升序排列即可看出最後的意義（即左上三角陣同層的從左到右順序），從而得到該公式。
2樓：
康托爾配對函式。
在數學中，配對函式是唯一編碼兩個自然數到乙個單一的自然數的過程。
在集合論中可以用任何配對函式來證明整數和有理數有同自然數相同的基數。在理論電腦科學中用它們把定義在自然數的向量上的函式編碼成乙個新函式 g:N→N。
推導過程在Pairing Function -- from Wolfram MathWorld中。
3樓：屈竟通
我說一下在不借助幾何直觀的情況下，怎麼清楚自然地得到這個函式。題目沒表達出雙射的意思，只是單射，我改了一下。看公式裝外掛程式 http://www.
，Chrome 下如果大小不對，縮放至 110% 重新整理試試。
整數對和整數都是可數的，所以它們之間的雙射有無窮多種，這讓我們很沒有方向感。在不借助幾何模型啟發的情況下，可以用函式的性質來定乙個方向。我要求函式\(~\color~\)滿足乙個很自然的性質：
隨著\(~\color~\)變大而變大。
我希望\(~\color~\)每增加\(~\color\) (稱之為\(\color\))，\(\color~\)就變大一些，也大跳一步，那麼大跳多遠才合適？因為要求\(~\color~\)為雙射，所以我必須保證，在\(~\color~\)不變的同時，讓\(~\color~\)的\(\color\)——從\(~\color~\)到\(~\color\)，共\(~\color~\)種取值——所對應的\(~\color~\)個\(~\color~\)值，恰好能乙個蘿蔔乙個坑，填滿大跳到下一步\(~\color~\)時，其最小值所跳過的距離。所以\(~\color~\)大跳的尺度必須是\(~\color\)。
好，我希望把\(~\color~\)分解一下，以便貫徹這個綱領，令\[
~\color~，
\] 我希望\(~\color~\)就像前面計畫的那樣負責大跳，一次跳\(~\color~\)這麼遠；\(\color~\)負責小跳，一次跳\(~\color~\)就剛剛好；\(\color~\)是最後用來調整初始值的。用數學語言來說，就是\(~\color~\)要滿足條件：\[
\color~。
\] 很容易得到，\[
\color^(i-1) =g(1) + \fracp(p-1)}~，
\] 常數項\(~\color~\)可並到\(~\color~\)裡面去，所以我乾脆直接令\(~\color\)，也就是\[
\color(p-1)(p-2)}~。
\]現在來搞\(~\color\)，說好了\(~\color~\)一次只跳一步，所以可令 \[
\color~。 \qquad (讓~\color~也行。)
\] 最後處理初始值\(~\color~\)，來算一算：\[
\color~，
\] 那就讓\(~\color~\)吧，這樣初始值就剛好等於\(~\color~\)了。最後寫一遍：\[
\color \color(x+y-1)(x+y-2) + x}
\] 就完工了。
4樓：余天公升
這個公式是靠譜的，對於給定的兩對自然數和，只要m1≠m2或n1≠n2，f(m1, n1)≠f(m2, n2)，也就是說，f(m, n)是乙個從N×N和N的雙射函式（N表示自然數集，×表示笛卡爾積）。
基本上各種關於數論、離散數學的書都會說到這個例子，就是證明定理「設自然數集合為N，則N×N是可數集」。證明乙個集合是可數集就是要構造乙個到自然數集的雙射函式。我們把自然數集裡面的數這樣子排列：
然後找一下這樣排布的規律，用等差數列求和的性質，你就會得到上面的那個公式。
小於正整數n且與n互質的正整數之和是多少？
小雨可白 先說結論 首先，有乙個顯而易見的結論 即 這個結論的證明留在最後 那麼當 與 互質時 其中 便有 與 互質即 小於 且與 互質的數共有 個 其中 那麼令這些按從小到大的順序分別為 將其雙雙組合為 此時 根據最初提到的結論，容易發現對於任意的自然數 有 去重之後，這樣的 共有 個 故 對於 ...
設xy均取大於等於0的正整數，那麼4x 3y能否遍歷一切大於等於6的正整數？如何證明？重點是如何證明？
計院char等生 這太好證了.先列舉6到9的數 2 3 6,3 4 7,2 4 8,3 3 9.9是3個3.然後就迴圈執行以下操作 把乙個3換成4 把乙個3換成4 把乙個3換成4 一旦出現3個4,就把3個4換成4個3,重複上面的操作.遍歷所有整數. 大老李 結論是對的。一般結論是，如果a,b互質，則...
如何證明對所有的正整數n，下圖式子成立？
Trebor 對n歸納一下。為了歸納，我們將這個等式對n和n 1時的情況做差。注意到 是 當且僅當 因此我們就得到左側做差為 右邊顯然就是 然後這個應該是熟知結論了，但是我還是寫一下。我們發揮處理數論函式 1 的時候的傳統藝能。先處理 為素數的冪的情況。這時 其中最後一步是等比數列求和。接下來處理 ...