1樓：Reciprocity
假設S為總和為n，乘積最大的兩兩不等的正整數的集合。假設S中最小元為a，最大元為b。有以下幾個事實。
1，a≠1，否則把1和b去掉，加上b+1，別的元素不變，那麼總和不變，乘積變大，和S乘積最大矛盾
2. a小等4。假設a大等5，那麼把a換成2和a-2，顯然總和不變乘積變大，矛盾。
3，[a,b]中的所有正整數至多有乙個不在S中。否則假設存在x,y均不屬於S。不妨設x小於y。
取S中小於x最大的正整數，假設是p。S中大於y的最小的正整數，設為q。顯然q>y>x>p，所以q-p大等3。
容易驗證(p+1)(q-1)>pq，因此將p,q換成p+1，q-1，乘積變大，矛盾
4. a=4當且僅當a=b=n=4，若a=4且5屬於S，將5換成2，3，總乘積變大，矛盾。因此5不屬於S。
若b大等6，由第三條知6屬於S。我們將4和6換成235，總乘積增大，矛盾
因此a=2或3
若a=3，由第三條有兩種情況，第一種情況，S=，此時n=b(b+1)/2-3
第二種情況，S=。若x+2小等b，則將x+2拆成x和2，總乘積增大，矛盾。因此x=b-1。此時n=b(b-1)/2-2
只剩下一種情況，a=2。由第三條，S=或者S=
第一種情況n=b(b+1)/2-1，第二種情況n=b(b+1)/2-x-1,其中2從而，由上述分析，若n=1，2，3，4，則S=。否則假設2+……+b<=n<2+……+b+(b+1)。令k=n-b(b+1)/2+1，則0≤k≤b。
若k=b，則S=。
若k=b-1，則S=。
若k=0, 則S=
若1小等k小等b-2，則S=
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