素數的 Willans 公式是否正確？

1樓：葉星辰

@醬紫君認為它是初等的，但這個素數通項公式並不是初等的，因為裡邊有對cos^2（t）的取等，這是可以取得1的，而那個取整在整數上不連續，（他放的那個取整化簡得到x本身，上面是1/2*，而arctantan做一些變換得到的在整點無定義），因此不是；而且帶sigma本身也不是特別初等的

下面給出乙個真正初等的素數通項：

首先我們知道p_n<10^n，考慮乙個無理數a=0.2030050007...，

那麼p_n=floor(a*10^(n(n+1)/2))-floor(a*10^(n(n-1)/2))*10^n,這樣取出了a在n（n-1）/2+1～n（n+1）/2，由p_n比較小可以知道這樣取出了p_n

2樓：

公式沒問題。

的(6)(7)。原理高票答案講得也比較清楚。

順便說一下，這種（運用階乘和高斯函式、求和號的）「素數公式」的效率都很低，不推薦用來實際計算，也就是比較「雞肋」的公式。

3樓：醬紫君

這些個奇形怪狀的素數公式, 無非就是乙個命題/定理中找出乙個斷言, 然後用謂詞重寫這個斷言, 然後用數學符號重寫這些謂詞.

Willson 定理

1" eeimg="1"/>是素數, 當且僅當 , 時同樣滿足此關係.

注: Willson 定理是 1 被踢出素數的受害者, 當時提出的時候可是不用對1特殊處理的...

所以對於素數和1, 我們可以下斷言:

換個表述也就是說:

如果 , 那麼就除的盡, 反之合數就除不盡.

我們給他配個有界函式, 比如 , 然後調整下週期, 讓它只有在斷言成立的時候能取到最大值1

不成立的時候下取整變成0就行, 與是我們得到了乙個萬能的判定素性的布林函式:

然後對所有小於的自然數判斷一遍加起來就能得到計數函式:

計數記得去掉1個, 1 現在規定它不是素數.

這個函式解析數論裡常記作 .

給定自然數 , 滿足的數的數量就是 .

啊, 討厭的 1...同理我們構造真值函式和計數函式, 最後得到素數公式:

然後問題轉化為怎麼消掉這些個謂詞.

然後這個無窮大也得消了, 不然就不叫公式(封閉解)了...

接下來要用到一些素數密度的估計.

對於任意自然數和之間至少有乙個素數.

也就是說小於等於的素數至少有個.

於是我們可以把這個無窮大消掉了, 換成 , 後面的求和都是 0 了不用管.

另一方面, Willans 發現了乙個非常巧妙的真值函式:

由此才得到了完全由初等函式和有限和的 Willans 素數公式

綜上所示:

比更好的界也是有的, 我們不去管他, 接下來把也替換掉, 最終得到:

Quite Easily Done!