1樓：zhangming30
因為看到有的答主提到這是平方根和算術平方根的差異，我覺得這些答主沒答到點子上，題主選了乙個不怎麼具有代表性的例子，的確，這個例子裡可以如此解釋，但是換個例子就不行了。
,.在實數域上，1的四次方跟只有1和-1，但擴充到複數域上時，卻有1，i，-1，-i四個值，眾所周知的是，對乙個複數進行 （既約分數）次冪運算時，共會出現n個值，而進行無理數次冪運算時，值的個數是無數個。
2樓：
跟尤拉公式完全沒關係啊這個
這問題就是(-1)^3 = -1，
為什麼((-1)^2)^3/2，即1^3/2 = 1?
這是因為本身對1開方的時候，是可以取1或-1的，但當你寫成1^1/2即sqrt(1)這種形式的時候，就規定了它只能是正數1。你要取-1就必須手動加乙個負號。這就是一種人類對根號做出的規定，沒道理可講。
至於樓主說的，1的任何次方都為1，也是因為這種規定，限制了1^1/2不能為-1才成立。
3樓：BT之王
我來簡單回答一下吧
你說的1的任意次冪都是1，這時的1指的就是exp（0*i），這時1的任意次冪都是exp（0*i）；而複數域下的尤拉公式的1是exp（2πi），不一樣。
歸根結底還是幅角為0和2π的1是不一樣的。但是實變函式裡只研究幅角為0的
4樓：
題主犯的錯誤是混淆了「取函式值後開方和函式開方後取函式值」。
記 ，取 後求3/2次方；和取f(x)的3/2次方得到 ，再取 ，顯然結果是不同的。
5樓：王英潔
有人指出開方多值性以及原點是支點了，本渣從黎曼面角度形象地來乙個
如圖，形象地看，開方的多值性可以理解為z^是黎曼面對映到復平面的函式。
e^0標在黎曼面的下頁，則繞原點一圈，e^(2πi)跑到了黎曼面的上頁。所以e^0和e^(2πi)開方結果不同。
6樓：「已登出」
e^(2*pi*i*t) t(0.1) 是以(0,0)為中心半徑為1的圓
乙個圓為2*pi的角。 (0,1)開始逆時針轉然後e 在complex是有乙個週期， 週期為2*pi*i所以如果n是整數e^(2*pi*i*n) =1那麼e^（2*pi*i*3/2)=exp(3*pi*i)=exp(pi*i)
在complex裡面從(1,0)開始轉pi 的角所在的位置(-1,0)
所以exp（3*pi*i）=-1
這和你所謂1^n=1 在實質上不是同一東西。
7樓：
一群人都在說樓主沒考慮複數域開方是多值函式但最大的問題不應該是…
括號的優先順序要高於冪運算嗎…
((-1)^2)^1/2 = 1 or -1(-1)^(2/2) = -1
8樓：暮紫駿
別看題主套了尤拉公式，但是題主的問題等價於為什麼(-1)^2/2=1而(-1)^1=-1終結？！
------有人不理解我這個意思，居然說我是舉例子--------我解釋下：根據尤拉公式e^iπ=-1
題主的問題是為什麼
(e^iπ)^6/2=1，而(e^iπ)^3=-1把e^iπ換成-1之後，是不是和我的問題一毛一樣？？？
9樓：戲命師 燼
題主這麼想:實數域裡的平方根，實際是有倆值對不？其他答主也說了複數域裡這些函式是多值函式。在題主那個例子裡，實際上應該考慮-e^(iπ)，就是一了。
10樓：噴火的豆
是正確的，就是所謂的單位根。
首先必須理解尤拉公式的背後意義：
其實e^i2π是e^iθ的特別情況。e^iθ簡單來說就是在複數空間逆時針旋轉角度θ，所以2π=360度就是轉一圈=回到原位，所以是1（啥都沒變）。
用n次方的話其實就是轉n個圈。
假設n=1/2，就是逆時針轉半個圈到1的反面，就是-1了。n=3/2與n=1/2有相同結果因為n=3/2只是轉多了一圈。
如果n=1/4，那就會轉九十度停止虛數線上，所以e^iπ/2=i。
11樓：
對於複數來說，「開n次方」是乙個多值函式
你可以推出各種結論，比如
但不能跟實數的情況混淆
一些資料：
Exponentiation - Wikipedia
這道題用尤拉麥克勞林公式怎麼做？
皆非 其實這道題的題源可以追溯到第八屆全國大學生數學競賽 非數學類 初試第四大題 設函式 在閉區間 上具有連續導數，證明 如果熟悉定積分的定義便很容易看出當 時，括號內的極限值為 而此題即為求 型的極限問題。下面我抄一下這道競賽題的解答步驟 這時再回頭觀察上面那題，不難想到可取 這樣其實也能做得出來...
數學上有比尤拉公式還美的公式嗎？
其中 表示不超過x的素數個數，對數積分為 而c為某個正常數。證明 定義 以及 則 在此基礎上，定義 則利用Laplace逆變換，可知對於所有的a 1，均有 接下來通過選取合適的圍道，我們可以得知存在c 0使得 1 這意味著對於所有的r 1均有 又因為 我們得到 令 便得 接著通過與餘項 比較，我們得...
為什麼說尤拉公式很神？
因為資訊量看似有限，實際上描述了整個複數空間，即有限對應無窮，並且還是客觀存在的規律。類似地，例如，質能公式，極小的質量對應巨大的能量。 Macimee 與其說尤拉公式很神，不如說它通俗易懂 應用領域廣泛。尤拉公式的版本有很多，比較常見的便是復變函式裡面的尤拉公式 這個公式巧妙的將正弦 余弦函式，以...