定積分的本質是什麼？

1樓：Friend丶傑

任意分割取點做和，極限唯一

翻譯：任意分割：[a,b]任意做分割

任意取點：[a,b]做分割後每乙份裡任意取一點做和：取好點後每點函式值f(ξ)乘以點所在區間的區間長度Δx，得到值f(ξ)Δx，然後將每個區間所得到的值都加起來得到乙個和數∑f(ξ)Δx

其實以上步驟每個定義在[a,b]上的函式都能做，而可積定義的關鍵在下面這一條：

※極限唯一：存在乙個值J，只要給定乙個正數δ，只要分割的所有區間的長度都小於δ，那麼以上所有步驟無論怎麼進行，最後得到的和數∑f(ξ)Δx都和J很接近。

這就叫乙個函式f在[a,b]上可積。

2樓：胡柴

從另外一處回答貼上而來。

定積分的幾何意義是面積。

常規面積，如三角形的面積，你願意的話你也可以用積分來算。但積分主要是為了解決像曲邊梯形這樣當初非常難算的面積。

怎麼算？積分唄。積分得出來的值就是面積。

積什麼分？積的是面積函式的微分。微分是什麼？

自變數的微分是dx，面積函式的微分是f(x)dx，面積函式的變化率（導數）就是面積函式的微分除以自變數的微分，就是被積函式。這個微分dx又是什麼？

dx不是什麼，對現在數學而言就是乙個符號。數學是個符號運算體系。我們總得需要乙個或幾個專門符號來定義這一大套微積分的運算吧？

就像你當年引入根號類似。（你可以停在這裡不要再往下讀了）

然而這個符號也不是憑空就這麼來的，是由無窮小量沿用而來。為什麼我們又不用無窮小量這個概念了呢？因為我們有了epsilon-delta語言有了極限運算之後就一切可以去描述和證明了，不需要無窮小量這種籠統說法了。

（你也可以停在這裡不要再往下讀了）

然而epsilon-delta只是很巧妙地把舉證的責任轉移了一下。本來是人家讓你說明無窮小無限接近的概念，結果你來了個我能比你更小更近的取巧的說法。這個技巧很好，也很通用，但並沒有增強人們的認識深度。

好比黎曼和要去無限分割乙個區間。區間分割下去有完沒完？區間無窮小之後還剩下什麼數？

你原先只有直覺，現在要嚴格化。

好麼，我們好不容易貌似把微積分嚴格化了，卻發現最基本的實數，區間，分割這些概念還沒有嚴格化，對有理數，無理數的認識也比較混沌。其實這些東西概念還是比較清楚的，你已經知道什麼是有理數無理數了，只是對它們一些性質沒有系統化的認識和研究。現在這個工作要抓起來。

還有長度，面積這些東西又是什麼？抱歉，沒人能回答。但是有大神發現長度，面積這些概念有哪些性質，我們可以研究並提取這些性質來泛化從而可以定義我們自己需要的度量。

於是經過19世紀特別是下半葉數學家的築基和過渡，我們開啟了集合-空間-運算模式，從此之後無窮世界無窮算。我們進入了無限分析的世界。

而無窮小量的概念到這裡你會發現一點區分度沒有，實在是太籠統了。

3樓：Sunward

書上的定義如下：定積分最常規的表示式

其中a，b為x的變化域，f（x）為被積函式，f（x）=y是關於x的函式，dx為自變數x的微分。

現在分析以下字面意思，f（x）表示因變數函式值y，dx表示x軸的微分，也就是說y*dx表示的是乙個矩形的面積（長為y，寬為dx）。那麼前面的積分符號「S」表示的意思是sum（求和）。所以，這個式子的意思是，很多個矩形的和，這些矩形的長為f（x），寬為dx，一共有（b-a）/dx個矩形。

當然另外有答主回答的一句話：@小怪獸說不疼「（面積）和的極限」。

4樓：

把規定的兩點之間的曲線下的面積切成無限個寬趨向於0，高度等於那條curve在那個x值的值的小長方形，再把它們的面積加起來......