1樓：賈總師
對於微積分的實質是對無窮小量i進行數學分析？從歷史發展的角度的某一方面來說我認為是對的。在萊布尼茨以前克卜勒，卡瓦列里等人就已經開始在用無窮小量進行運算，去解決曲線的切線斜率問題，求面積以及求極值的問題。
在牛頓萊布尼茨發明微積分以後，伯努利，尤拉等在利用無窮小量發展了很多的微積分方法，比如分部積分法，解微分方程的分離變數法等等。所以可以說在微積分發展的過程中無窮小量起著不可磨滅的作用，只不過由於需要建立嚴密的理論而在當時數學發展的條件下我們無法明白無窮小量到底是乙個什麼樣的量，所以以柯西為代表的數學加建立了以極限思想為基礎的微積分體系。在這個體系中，導數為增量比的極限，微分為增量的線性主部，定積分為分割求和取極限的極限值，而無窮小量為極限為0的函式。
這個定義已經與萊布尼茨當時的想法有了很大的差別萊布尼茨微分就是無窮小量，導數就是微分之比，積分就是微分之和。
2樓：笛卡爾門徒
微積分的本質，連續性規律性變化。
四川大學的馬天教授（我最欣賞的乙個教授）說過，自然的物理定律就是微積分，
其實本質意思是自然的物理定律就是連續性規律性變化。而這個在數學中就是微積分。
而微積分初步認識很簡單，就是變化率（函式）和累加量之間的轉換，和變化率之間的各種運算。
微分和積分只是兩個不同的形式來描述規律性變化的。
因為規律性變化都是用函式來進行表達的。那麼微分和積分也就是兩種不同形式的函式，
那麼從數學角度來說，就變成了兩個不同函式的關聯。
而同時，微分是乙個變化速度規律，那麼講微分的時候，也用變化速度的方式來表達。
第一哲學眼中的數學-微積分的本質和入門認識1
3樓：admax
微分和積分自身就是建立在函式基礎上的運算罷了。微積分望文生義講的就是這兩種運算所包含的規律，就和小學一年級教加減，二年級教乘除，上了中學教乘方，開方，對數，三角一樣
4樓：屈威
樓上所有回答微積分是對無窮小的分析的，你們知道無窮小本來就有悖論嗎？在非標準分析中無窮小才被嚴格的定義，一般教科書中微積分是由極限來表述的。也就是無窮小被捨棄了（非標準分析中仍舊採用））
5樓：攤破
這句話是具備道理的。微積分其實是兩個概念。微分和積分分別都涉及到無限小，兩者互為逆過程。
微分說白了就是把一大堆東西分成很小的，無窮小的乙份乙份，這樣在連續的函式上，每乙份都差不多少。積分就是把乙份乙份加起來，密不透風。舉個栗子，一條曲線，微分就是把曲線上的每一小段割裂開來；把任意一小段放大來看，再放大（成乙個點），你可以看到它的斜率，每段皆然。
這是微分。積分，還是同一條曲線，把這條曲線下的面積分成一段一段，每段都差不多乙個長方形，把長方形的寬無限逼小加起來，就是整個面積，這是積分。如果曲線代表乙個物體運動的速度，那麼對橫軸時間微分，就是每一段時間內速度變化的快慢，這便是加速度；對橫軸時間積分，每一小段vi*Δt，合起來就是路程，此過程即積分。
當然啦，對路程的微分自然就回到速度；題外話要說兩句的話，不妨提一下加速度微個分是個叫作「jerk（混蛋）」的東西～
6樓：
我覺得可以從微分（differentiation）、積分（integral）這2個英文詞的本身含義入手。這比較適合數學小白入門。
7樓：王人德
我覺得對啊
首先無窮小量是一種相對性的描述，而並非乙個絕對數。
在此基礎上把原有的絕對數建立的數學模型用相對數重新帶入一遍，就相當於換了一種角度看同乙個問題。
函式本身是一種數學分析，導數也是一種數學的分析，二者針對的是同乙個問題，但形式不同。
8樓：jiesheng si
微積分的實質是對非線性函式進行線性化，直觀點講，就是以直代曲。微分是曲線（區域性）線性化，積分是將線性化後的東西還原。題主是否贊同？
9樓：永坑道長
上數學時老師講過高等數學的的思想大概是：先把物件分成充分小的結構，對這個結構保留主要部分，忽略次要部分（微分的過程） 然後在把處理過的各部分累加起來（積分的過程）。
10樓：希小數
我覺得微積分的實質就是複雜問題簡單化。不管是不定積分，定積分，二重積分，三重積分的最基本原理就是分割近似取極限。說明在複雜的圖形曲線都可以用無數個正方形表示出來。
如果把我們見都沒見過的函式用乙個個長方形表示出來以後再疊加，那就會很簡單。
包括泰勒公式這種讓無數人頭疼的東西，都是在用無數個我們已知並且簡單的函式，像一元函式，二元函式進行疊加來確定面前這個不為人知的函式。
而無窮小量對於微積分的內容其實是近似這一步上，因為長方形畢竟是有寬的東西，所以我們要讓長方形的寬足夠小，寬越接近無窮小函式就越精確，所以其實每乙個長方形的寬如果都能準確的無窮小，那微積分就是在對於這些寬無窮小的長方形進行疊加。所以才會有了物理意義，有面積，有體積。
微積分是物理工具也是數學工具，是一種能夠把2乘1變成1加1的實質性的東西。
11樓：陳不嘻
以我半吊子的微積分水平，我覺得積分的意思就是微分的和，但微分被定義為比函式值和微分的差更低階的無窮小量，意思就是說用微分值代替函式值的話，其相對誤差為零，即微元趨向零時微元的和和函式值的相對誤差趨向零，所以可以用微元的和的極限來替代所求的值，而微元的和的極限就是積分。所以你所說的無窮小分析可能就是對於乙個量，我要去設計或者找出乙個合適的微分函式，證明這個微分函式和那個量之間的誤差確實是比這個微分函式更高階的無窮小量，那麼這個微分函式就是正確的微分函式，我就可以對這個微分函式求積分，得到的結果就是要求的那個量。但是似乎通常又認為導函式就是乙個正確的微分函式，所以找出那個量的導函式，把導函式積分，就得到那個被求的量了。
以上的積分只是叫做黎曼積分的東西。有沒有什麼其他的積分我就不知道了。
12樓：
這句話是從微積分的發展過程來看的。因為微積分的數學證明過程建立在柯西發明的極限概念的基礎上。但是回過頭來審視微積分的話，我認為其實微積分是一門研究連續函式的理論。
奧妙隱藏在拉格朗日中值定理中。此定理說的是一段連續曲線的割線的斜率等於所割曲線中某一點的斜率。如果把這段曲線看作是直線運動的位移～時間函式的話，就是說這段路程的平均速度等於路程中某一點的瞬時速度。
之所以有這個結論，根本原因是時間是連續的，速度只能連續地變化，必在某一時刻經過其均值點。
用這個結論就可以證明微積分基本定理。用速度～時間函式來說明。定積分是定義為與分割和小區間函式取值無關的黎曼和的極限。
連續函式可積。把積分區間分成若干段，即把位移分成若干小段位移。每一區間的曲邊面積（每一小段位移）就等於此區間某一時刻點（即此段位移平均速度的時刻點）的函式值（速度）乘以區間長度（時間段）。
因為黎曼和與取值無關，那麼取這些平均速度點為函式值得出的黎曼和就恆等於每一小段的位移的累加，即等於末位移值減初位移值。
以上可以看出拉格朗日中值定理的核心地位，而此定理成立的根本條件是連續，而連續函式的基本性質以實數的完備性為基礎。
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