1樓：澄明
以下都是一元函式。
什麼是線性近似？其實按照字面意思可以理解成一小段平滑曲線可以用很多段小直線近似代替。這也是微分的幾何意義。
接下來要提乙個重要人物——泰勒。這個人可厲害了，他做到了數學的統一美。他指出，如果f(x)在x0的某一鄰域任意階可導，則有：
Rn(x)叫拉格朗日餘項，省略不寫了，因為求導無盡，最後項也無盡。只有寫了餘項以後的式子才能用等號，其他沒寫全的，都得用約等號。這個式子告訴我們，任何任意階可導的函式都可以在某一點展開成多項式的和。
也就是說，用這個多項式去逼近函式值。
接下來要提的人是麥克勞林。因為x0＝0的泰勒公式叫做麥克勞林公式。
這是帶柯西餘項的麥克勞林公式。餘項這個東西，我覺得你只要不是專門研究數學的，就不用去真正理解。工科只是把它當做計算工具。
高數課本用的是佩亞諾餘項o(x^n)，這個表示式的意思是比x^n更高階的無窮小。
學習了麥克勞林公式以後，你就明白了等價無窮小的實質。這個實質就是泰勒公式在0點展開保留一階，與x等價。
舉個例子，x-sinx，這個如果只展開一階那麼就是0了。但是sinx的麥克勞林展開式
x減去的是這麼一串，x和x消掉之後，還剩下一串。那麼我們該保留多少呢？這裡邊又涉及到不同無窮小相加的問題。
一堆無窮小相加，只留下趨近0速度最慢的那個，sinx拆開之後，最慢的是x，x-sinx，拆開之後，剩下的最慢的是x項。
這就是等價無窮小替換的實質。說到這，你也應該能理解文章的內容了。至於線性近似，說的就是泰勒展開到一次項，二階近似，說的就是泰勒展開到二次項。以此類推。
不寫佩亞諾餘項，就是等價或者≈，寫了餘項，你要用等號連線。
線性代數中 線性對映 和微積分裡的 連續函式 有什麼聯絡？
有關係嗎？懵逼了。假如有關係，那麼連續數軸 line 的方向要拿出來，連續數軸一般是雙向或者單向，作為乙個零點則對方向起無關作用。非歐幾何裡可能有關係，如果要在非歐幾何裡做乙個座標系。這只是一種約束條件，如果研究數學，不同領域有不同的語言。所以應該沒有關係。有關係就是道可道 非常道了。 說沒關係的建...
普林斯頓微積分讀本和線性代數及其應用適合入門嗎
呼呼 我覺得非常適合。你之所以選擇這兩本，說明之前已經做過很多功課了。如果讓我根據你的情況給你推薦，我恰好推薦的也就是這兩本。 xyor wz 適合，作為過度沒什麼大問題，自學數學心態最重要，感到不吃力才有問題，可以多找點書看看。個人更推薦Peter Lax的微積分及其應用 有中譯本 和線性代數及其...
作為高中生，我只學了微積分和線性代數，可以學微分幾何嗎？
MATHTH 作為高中生，去看微分幾何是沒有問題的，在學習的過程中會加深對微積分和線性代數的理解，學習這東西應該循序漸進，逐步深入，到融會貫通，最後到開創新的局面 老兵還鄉 首先確認你的多元微積分很紮實，比如格林公式高斯公式，甚至廣義的stocks公式都會寫會用。建議再學一點拓撲，否則你只能學到高斯...