1樓：努力做個槓精
巧了我現在大一
這個公式我也是在高中的時候無意中推導出來的，畢業之後還在知乎上提問了一下
我這樣推導的公式有意義嗎？
我高中的時候推導這個就是數學歸納法吧
但是我並不是用數學歸納法去證明它，我是閒的沒事兒胡亂寫，所以沒有數學歸納的格式。
2樓：順理成章
用高中的知識的話，最簡單的就是把右式減過去，然後連續求導，多項式的n次導數是零，e^x的導數還是e^x，取零的時候帶進去就行了
3樓：Observer
別的大佬已經把各種方法寫的差不多了，我就來補充一些關於積分的吧。
首先來說明乙個引理：（高一沒翻過書不確定書上有沒有）對於任意兩個連續可積函式 與 ，滿足 x ,都有 ，則由積分的解析定義我們可以立刻得到這個結論，這算是利用積分來證明這個不等式的基礎之一吧。
積分除了可以證明 的泰勒展開式以外還可以用來證明 的級數展開，即;設 ,則
故而 是 的原函式,由基本定理，我們有
對於 ,我們可以把它展開為如下級數
,餘項代入上式，逐項積分則有
此時餘項
在 上取 ，有所以即
注意到到當 遞增時 趨於0,從而我們得到了在 上成立的無窮級數當然了要估值的話還是採用下面這個級數比較好這個級數可以由對數運算法則得到。
早上爬起來想到乙個新的思路，不確定其他julao有沒有寫過，有的話忽略這一段就行
因為 的導數為
由導數定義式，有
即 令 則有
兩邊取指數，即
用二項式定理展開右式，有
從直觀角度來說當 時，每項 都可以用0來代替(涉及到高數里的極限與無窮小量的內容，既然高中不教就不嚴格證明了）
所以最後我們得出了 的無窮級數展開：
有人覺得 的級數展開用了泰勒，其實這是等比級數求和的逆用啦我們知道對於等比級數 的求和公式為
移項，即為
4樓：皓墨
其他回答都在瞎搞根本沒考慮高中生感想。沒那麼難，很簡單的事。
直接求導即可：
顯然x=0時等號成立所以欲要證LHS≧RHS，只要證LHS』≧RHS』，而求導後LHS不變，RHS減少一項，用乙個數學歸納法就整完了。
（當然把求導換成積分反過來寫也一樣）
5樓：
1.數學歸納法。
2.構造乙個函式，兩邊做減法，利用這個新的函式單調性來證明。可利用導數導數證明單調性，一次不夠，要用多次。
6樓：wzd
泰勒級數
再說一次，這個冪級數展開有無窮項，每項為+，是等式，你這n不是無窮大，當然小一些了，是》號，不會出現=號，餘項r（n）>0的，這題在高數是最簡題了，在高中證那出題者在賣弄了，毫無研究必要，本來一分鐘就做好的題，你頭破也想不出，有意義嗎？現在數學教學真出問題了！
甚至小學生中出現大量高中，大學題捉弄孩子。
7樓：
上面用積分和指數不等式的一些大佬.......高考一般很少這麼玩。江蘇高考甚至不考積分、
這個題目我在高三做過，不需要這種高階知識，對右邊的n用數學歸納法就行了
8樓：
抱歉，我第一次回答數學問題，符號運用不一定準確，還請見諒。
這個方法叫「雙子法」
不等式兩邊同時乘e^(-x)
令f（x）=不等式右邊（先移項在建構函式也可以，常數1）然後對該函式求導一次，（求導正確，導完有驚喜）整理，合併同類項。（其實到這裡就基本完成了，不過，作為高中生，步驟和結果很重要的。。。。分奴狗頭保命）
然後令f『（x）=0得出零點。
得出不等式。
下結論。
證畢。（涉及e^x作為乘項的基礎問題一般都可解決）
9樓：狛枝凪鬥
按照課改版的課程標準，已經很難用純高中的辦法來證明這個不等式了。因為關於積分和數歸的內容都去掉了，不過數學歸納法還是很好理解的。下面我用數學歸納法來證明一下吧。
證明：設
則只需證明對於任意 有 成立。
當n=0時，即 ，顯然成立。
假設n=k時，命題成立，即
當n=k+1時，
求導，故 在 上單調遞增，於是
即n=k+1時，命題也成立。
綜上，命題對一切 都成立，Q.E.D.
10樓：「已登出」
這個級數的證明就不多說了，現在的數學分析教材一般直接定義e等於那個級數。
這裡講一下尤拉當年是怎麼匯出這個級數的，過程可能存在不嚴謹的地方，但是尤拉大師的論證思路是非常值得借鑑的。
首先尤拉認為a=1，如果冪指數從0增加乙個無窮小，那麼右邊也會增加乙個無窮小，即a=1+y，這裡x和y都是無窮小量。
下面尤拉開始了他的表演，尤拉認為x和y都是無窮小量(同階無窮小)，那麼存在乙個常數k，使得y=kx，那麼有a=1+kx，兩邊同時取n方，得：a=(1+kx)。右邊用二項式定理展開，得到：
a=1+kx+n(n-1)kx/2
尤拉直接令nx=z，那麼有n=z/x，因為這裡x是無窮小，令n趨向無窮大，則z是乙個有限數，代入上式得到：
a^z=1+kz+1(n-1)kz/1*2n
然後尤拉令z=1，對右邊n取無窮大，得到:
a=1+k+k/2+k/6
尤拉強行欽定上式中k等於1時的a為e，即：
e=1+1+1/2+1/6就是我們教材上e的級數定義，精確到小數點後5位，e=2.71828。
然後令k=1,尤拉就得出了e=1+x+x/2+x/6就是上面需要證明的等式。
11樓：聖人無名
0)" eeimg="1"/>，則 。
導得0可以求出 時 取極大值，而 ，故 。
分子分母都大於0是顯然的，故 1+x+\frac+\frac+...+\frac" eeimg="1"/>
亦可把 x+1" eeimg="1"/>兩邊同取0到x的定積分，即可得到 1+x+\frac" eeimg="1"/>。反覆進行n次可得。
12樓：Mr.壞
簡單解釋一下，細節需要你參考課本自己理解，首先由泰勒公式可得乙個多項式的展開項，明白這個概念後，跳到級數概念，即為乙個函式從0到無窮大的取值相加，然後得到泰勒級數定義（f（x）在x=xo處的泰勒級數公式），知道這個泰勒級數公式後x取0就很容易證出
13樓：
其實就四個字「泰勒級數」，因為題主說是高中生，如果還沒有學微積分，那就比較麻煩了，大部分證明最多就是繞開微積分三個字從通過定義把積分過程重新走了一遍。
如果題主執意需要「基礎」證明，以下是一條思路：
先看我這個帖子：
如何證明 lim(n→+∞) (1+1/n)^n＝e？
裡面有用到冪函式不等式定義
利用 的定義，很容易證明指數函式不等式 1+x" eeimg="1"/>對所有非零 成立。
然後求下面兩個平均值（等於用基礎方法求積分的定義）
利用冪函式不等式證明冪函式 在0到 之間的平均值為
利用指數函式不等式證明指數函式 在0到 之間的平均值為
最後就簡單了
因為1+x" eeimg="1"/>對於所有正 成立，
兩側取0到 之間的平均值，不等式依然成立 1+\frac" eeimg="1"/>，即 1+x+\frac" eeimg="1"/>
兩側取0到 之間的平均值，不等式依然成立1+\frac+\frac" eeimg="1"/>，即 1+x+\frac+\frac" eeimg="1"/>
反覆類推，即得。
如何簡潔地證明e （x 1） x 2x？
劉醉白 放縮還是可以放縮的，首先 對 較小時可以使用切線放縮 時 所以 然後設 求導得到 顯然唯一的零點是 而且導函式遞減，所以 函式遞增，1 eeimg 1 函式遞減。即 恆成立，所以 時，如圖所示 對 較大時可以使用泰勒多項式放縮，首先做乙個換元簡化問題，設 則原問題轉化為 證明 3 eeimg...
數學，見下圖，f x1 f x2 x1 x2 2難道不能直接得出增函式嗎 大於2不就大於0嗎？
楚若兒 問題寫錯了，是 4。f x1 f x2 x1 x2 4 0說明函式是增函式，因此根據該函式是二次函式以及對數函式相加後的新函式的單調性，可以得出a 0 但是由選項來看，是要利用到 4 這個條件，顯然函式就乙個引數，a決定二次函式的增減，本題考點就是這個。對於這個式子，特地強調x1，x2是正數...
x 0 ln x 1 x 2 不用泰勒公式，不用洛必達證明，怎麼看出來是x等價無窮小的？
薛丁格的月亮 題主所述函式是反雙曲正弦函式 arsinh x ln x 1 x 2 而其反函式，雙曲正弦函式 sinh x e x e x 2在x 0時是與x為等價無窮小的 這點可以通過 sinh x e x e x 2 e x 1 e x 1 2，而 e x 1 x 說明。希望題主不要在這裡問我這...