1樓：薛丁格的月亮
題主所述函式是反雙曲正弦函式
arsinh x＝ln (x+√(1+x^2))，而其反函式，雙曲正弦函式
sinh x＝(e^x-e^(-x))/2在x->0時是與x為等價無窮小的：
這點可以通過
sinh x＝(e^x-e^(-x))/2＝((e^x-1)-(e^(-x)-1))/2，而(e^x-1)~x
說明。（希望題主不要在這裡問我這一步是用泰勒或者洛必達得到的）需要注意的是，這裡是可以用加減法的；
另外至於
ln(x+√(1+x^2))
與(e^x+e^(-x))/2
互為反函式這一點，可以通過反函式的定義得到。
既然sinh x~x,x->0，
那麼就可以得到
arsinh x~x,x->0。
這一點可以理解為在兩邊取反函式，也可以在幾何上理解為：函式與其反函式關於y＝x對稱，從而在原點處有如上性質。
2樓：jackie
這種不讓用各種手段的思路一般是用原始的定理來解,極限的夾逼定理+基礎/常用等價無窮小.這裡用到當x->0時 log(1+x) 等價於x這條.為了方便打字根號用 sqrt 函式表示.
1.ln(x+sqrt(1+x^2))>ln(x+1)=x;
2.ln(x+sqrt(1+x^2))根據夾逼定理得結論
lnx 的導數是 1 x，那 ln2x 的導數還是 1 x，是不是就出現毛病了？
非常能明白這個題主的困惑在哪。我們先令t 2X，則在這個題主的想法看來，ln t的導數應該是1 t啊，也就是1 2X，奇怪！當然這個想法是錯誤的。當然這種想法是錯誤的，實際上對於有中間變數的求導，f t 對於X的導數實際上應該這樣算 我手頭沒有紙筆，從網上找的公式。 因為ln ax 和ln x 相比...
已知正整數x1 x2 xn，則x1 x2 xn m（m n）的解有多少組？
rsa 運用遞推法求解。設 的正整數解 的組數為 顯然當 時 當 時 當 n eeimg 1 時，將解分為兩類 1 則 是該式的解等價於 是 且 的正整數解，共有 組 2 1 eeimg 1 則 是該式的解等價於 是 且 的正整數解，共有 組。因此 n end eeimg 1 使用該遞推式進行計算，...
對冪函式求導中出現的特例 x 1 和 lnx 1 x 能說明什麼數學現象嗎？
喵嗚大將軍 x 1並不是特例，冪函式求導的規律就是x n到nx n 1 所以x 1求導就應該是1 x 0，毫無異常 而x 0再求導就變成了0 x 1 0，也沒有任何異常，唯一的問題是這裡的x 1 因為係數的問題就這麼消失了，導致這裡在一定程度的失去了連續性，但lnx的存在彌補了這一連續性，使得x 1...