1樓：Warren Chen
據我所了解的四元數，最多的是在李代數和幾何中的應用，簡單說下：
首先四元數可以看成在中定義的一種代數結構：
, 可寫成,
四元數間定義的乘法可以寫成
同時模擬於複數，定義四元數的共軛運算
定義完了一些運算，我們可以開始研究一下一些有意思的性質了，顯然，在上述乘法意義下成群，是前面這個群的子群 。更進一步，上的這個乘法和逆運算是光滑的，從而得到了乙個李群。
下面說下如何用四元數刻畫三維空間和四維空間的旋轉的：
先說三維空間，任取, 按照四元數的寫法可寫成. 對任意, 定義對映, (自行驗證這是良定義的)；可以證明這還是中的正交變換。於是可以看成是到的對映，更進一步，可以證明這是乙個群同態，並且。
幾何上來看，將寫成, 這裡. 可以證明，此時可以解釋為以為旋轉軸旋轉的的旋轉。利用這個群同態，我們還得到了一些有意思的結論比如與微分同胚。
四維空間的情況與三維空間的情況很類似，先寫這麼多，以後有時間了再來填。
2樓：Boltzlinn
記得在某本線性代數教材的課後習題中見到過，據說哈密頓等人曾經研究並推崇過用四元數描述麥克斯韋方程組，好像也發展出過一些分析理論，不過後來被等價且更容易描述的向量分析取代了。
3樓：林登圖
復分析是數學分析的自然推廣。四元數的乘法不交換，導致數學分析和復分析不能自然推廣到四元數上。四元數沒有解析函式和級數理論，四元數的代數見李代數。
四元數是如何產生的？
琉年 四元數是為了表示空間中的點而被發明的，並不是由於運算中出現了詭異的東西。表示平面上的乙個點，人們經常用複數，哈密頓理所當然地覺得除了i，再加個j就可以表示空間中的乙個點了。然後發現 i j 不能寫成乙個 a bi cj 的形式，而再引入乙個k則可以 自洽了 不過乘法交換律沒了，從而又帶來開平方...
把矩陣旋轉和尤拉角 四元數兩種旋轉並列是否不準確呢？
debye 引入四元數的意義應該說主要是為了避免球面線性插值的穩定性問題 Quaternions can be used for stable and constant interpolation of orientations,something that cannot be done well ...
不允許計算機存在的物理理論是否存在？
首先，什麼叫做機械計算？人腦計算為何不屬於機械計算？人腦能超出物理規律嗎？神學宇宙可以遮蔽機械計算，因為有超脫物理規律的神，神不是物質的，神可以計算的東西也是超脫物質的，不被物理規律限制。 陳雪明 題主的這個問題我理解。題主認為，宇宙中的一切受物理理論支配，凡符合物理理論的亊物可以存在，凡不符合物理...