1樓：
準確的說你的問題表達有問題。
題主應該要問為什麼這兩個函式表示式，在x趨向於0時是等價無窮小。
直觀的話看兩個函式在x=0附近的影象可以理解。
就是趨向於0的「速度」一樣唄。具體證明有很多方法，別的答主已經給出。
2樓：薛丁格的月亮
其他答主已從洛必達法則、降冪公式等角度做出了嚴謹的證明。這裡在此作兩個幾何上的說明：
1、用二次曲線在(0,0)處擬合函式
作出函式 在 附近的圖形，描繪如下：
可以發現，在 的區域，影象是很接近頂點在原點、開口向上的拋物線的。於是我們可以考慮用拋物線擬合它，即此時令 0)" eeimg="1"/>。
我們知道，兩條曲線二階趨近的乙個必要條件是，它們在此處的曲率相等。（由此可以窺見泰勒逼近的影子）根據曲率公式[1]
得到， ，
即此時兩曲線是近似相等的，於是我們可以認為，當 時， 。在同一座標系下作出兩者影象，可以更直觀地反映這一點。
如圖直角三角形 ，斜邊長度 ，一銳角 。於是過 點以 為圓心作一圓弧，交斜邊 於點 ，從而因 得 。
連線 ，在 中，應用正弦定理，得
。由簡單的幾何關係易知
， ，， ，
從而代入得，。
（好吧，寫到這裡發現跟我預料的不大一樣）
於是考慮到 時，……
3樓：TravorLZH
原題相當於證明 ，利用余弦的二倍角公式，可得：
其中重要極限 可以通過幾何法證明：
由圖可知 其中在 處取等分別計算出來可得：
在 時對兩側同時除以 得：
因此由夾逼定理可得
當x趨向於0 sinx x等價什麼 該怎麼求呢？
答 等價為2x。首先，在x 0的時候，sinx x，判斷是否是等價的，可以用 sinx x是否等於1來判定。用洛必達法則或者泰勒一階展開可以立馬得到答案。也可以做單位圓來輔助證明。以下給出證明 所以既然sinx x，那麼左右兩邊同時加x就可以得到我們想要的答案啦 sinx x 2x。這裡補充一點，可...
函式 y x 1 x 的影象為什麼類似於一條直線（如圖）？
小雨可白 考慮計算 有 當然也可以用Stirling公式 再點綴一下 所以上圖中，藍色的線為 紫色的線為 我最後補充一下 不是 的漸近線，誤差約為 注意到 就明白，沒有漸近線 乙個remark 注意下這裡其實不能說函式 有漸進線,因為 注意到 那一項,說明這根 漸近線 的截距是unbounded的....
為什麼G H是阿貝爾群等價於 G,G 被H包含？
Scrjabin 至於題主沒看懂的那一步，動手算算就行了 假設有如題的群同態 那麼 left eeimg 1 其中第二個等號用到的是 交換的條件。沒證出來別看答案，慢慢證。可以先簡化條件，比如先考慮 的情況。這樣可能可以有element wise的證法，然後再試圖推廣用商群的泛性質 更抽象的態射證。...