1樓：Scrjabin
至於題主沒看懂的那一步，動手算算就行了：
假設有如題的群同態 ，那麼
==\left\" eeimg="1"/>其中第二個等號用到的是 交換的條件。
沒證出來別看答案，慢慢證。可以先簡化條件，比如先考慮 的情況。這樣可能可以有element-wise的證法，然後再試圖推廣用商群的泛性質、更抽象的態射證。
比如，題主如果學過自由群可以嘗試按這個思路證一下 .
2樓：「已登出」
其實你證 H is a normal subgroup of G, and G/H is abelian iff H contains all elements of G of the form a^(-1)b^(-1)ab.
假設G/H is abelian, then 對任意 aH,bH 屬於G/H， aHbH=bHaH , 那麼 abH=baH,
H=(ba)^(-1)abH=a^(-1)b^(-1)abH, 所以 a^(-1)b^(-1)ab 屬於H。
另乙個方向，假設H contains all elements of G of the form a^(-1)b^(-1)ab
先證H 是 normal subgroup,
對任意 x 屬於 H, g屬於G， gxg^(-1)=(gxg^(-1)x^(-1))x 屬於 H，因為 (gxg^(-1)x^(-1)) 屬於H，x 也屬於H。
所以以 N 是 normal subgroup of G.
再假設對任意的a,b 屬於 G, aba^(-1)b^(-1) 屬於H, 你要證 aHbH=bHaH。
aHbH=abH=ba(a^(-1)b^(-1)ab)H=baH=bHaH.
第三個等號因為 (a^(-1)b^(-1)ab) 屬於 H
G和 是有限迴圈群，如何證明（G H是迴圈群）等價於（ G 與 H 互質）？
來自虛空的Xetta 由於題目答案過於顯然，所以我們不妨給題目增加一點難度，把題目改為證明 和 是有限迴圈群，設 是由自由積 確定的乙個群結構，滿足 若 是迴圈群則 證明 用反證法。假設 則有 且 不為素數，由於 為迴圈群，所以必定存在滿足 的迴圈群 和 使得 由題主的原命題即可推出此結論 設 的素...
阿貝爾群的自同構群是什麼？是它自己嗎？
Hepmiau 當然不是它自己.不過也有特例，比如 p adic 加法群 這是因為p adic 加法群的自同構群就是乘法群 而乘法群同構於 思路是我們只需考慮 必須被對映到generator上，而generator正好是 具體證明懶得寫了。此外拓撲群 應該也滿足條件。至於有限群的情況，迴圈群和初等阿...
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粉飾 不是的吧，基本對於我目前學過的知識好像還沒有等價的時候，是常數3.1415926.e有時候作為次方符號，有時候是常數2.71828 的個 上式是復變函式e iX cosX isinX在X 時的特殊情況，該式包含了數學中最基本的0 1 圓周率 虛數單位i和自然對數底e，因此被譽為 上帝之式 和e...