1樓：
定義A(3.1)：度量空間X中的序列 ，如果有乙個下述性質的點 ：
對任意的 0\]" eeimg="1"/>，有乙個正整數 ，使得當 時可以得到 ，稱序列 收斂的。另外我們也稱 收斂於 ，也稱 是序列 的極限。並記作 ，或者 。
另外，若 不收斂稱之為發散的。
定義B(3.5)：設有序列 ，取正整數序列 ，使 ，那麼序列 稱為序列的子串行，如果 收斂，把它的極限稱為 的部分極限。
定義C(3.16)：設 是實數序列(目的為了有序的並且可引入最小最大上下界)。 是所有可能的子串行 的極限 組成的集。 含有定義B所規定的部分極限。
稱 為序列 的上極限(若存在)， 為序列 的下極限(若存在)。
(這裡 記為最小上界， 記為最大下界)
另外的記號分別為
。引理D(3.18c)：對於實數序列 ， ，當且僅當 。
引理E(3.19)：如果 是固定的正整數，當 時， ，那麼 ，
。定義
考察 ，我們先定義即
稱部分和 。
0\]" eeimg="1"/>
單調遞增且上有界因而 收斂。
定理F(3.31)
證：設 為上面提到的部分和， 為 ，這裡 暫時是有限的。
第一部分
因而可以二項式展開 ,得到
注意，規定的上標小於下標記為0，的上標小於下標記為1。
因為tn每一項有乙個連乘因子 ，而有限 下這個每一項都小於1。因此 。
由引理D,E得
。第二部分
其次，如果給定乙個 ， ，那麼
固定 ( 有限)，令 ，得
因此 令 也 ，這裡自然地 依然成立，即上式( )成立
得 ，這一步依極限定義允許得到
由此
由引理D得 即 ，證畢。
我沒使用任何的其他方法，並且使用了二項式定理。。
還有，等價有個定義並匯出其與 相等，這個方法依然完全可以通過上面的推導過程得出。
[1]《Principles of Mathematical Analysis》--Walter Rudin
(即《數學分析原理》，也稱baby rudin)
公式已補，如有錯誤，請務必指出~
2樓：濟雲
要講明白這個事, 簡單也不簡單. 有必要先回顧一下歷史.
所謂自然常數 通常稱為"自然對數的底", 事實上, 因為在歷史上, 對數函式先於指數函式誕生, 其中乙個原因是為了簡化航海計算. 早先對數的乙個定義是通過以下積分給出的:
之後, Newton 接受這個想法, 使用二項級數, 得到了 的 Taylor 展開式(名字後取的). 然後利用精巧的反演得到了 (也就是後來寫作 的函式)的冪級數展開式. 直到後來, Taylor 發表了一篇《增量法及其逆》的文章, 才有了現在的 Taylor 展開式.
這樣說, 歷史上自然常數 是定義為 的. 其他的定義式都是從這裡開始的. 說起 其實應該談談對數函式及其反函式(指數函式)怎麼來的, 這方面尤拉做出了極大的貢獻.
整個說清楚需要很大的篇幅, 這裡只簡單提一下. 有興趣有很多資料可供參考.
說回題主的問題. 題主所問的兩個定義式, 我個人比較傾向的一種解釋是, 他們是通過下面講到的方程的解來給出的.（即 e^x 是用以下微分方程的解來定義的。）
考慮自然界的物種繁衍, 細胞增殖, 放射性元素衰變等等自然現象的數學模型. 將其視為連續變化的情況下, 可以用以下微分方程方程來表示.
不失一般性, 設 , 假設初值條件為 , 學過微分方程的話, 應該很容易得到, 這個方程的解, 用 表示. 當然, 這個時候我們還不知道 , 更不清楚 是什麼(尚未定義). 但是對於 這個函式我們可以證明它具有以下性質:
定理: 函式 的定義域是 , 並且 .
利用這個性質, 可以進一步證明得到有 ,這個函式是乙個指數函式.
以上自然現象從離散變化的情況看, 可以用以下差分方程來描述:
其中, 是從 到 的變化量(步長) , 是從 到 的變化量. 令 的話, 可以遞推 次得到 .若將 縮小到 , 同樣, 遞推 次, 就會有 . 進一步也就是 .
另一方面, 為了具體計算 , 尤拉這樣做:
令 , 由 得到 ;
由 , 得到 ,(注意考察收斂情況. 當然, 在尤拉時代, 普遍對於收斂性的重要性還沒有足夠的重視, 對於逐項求極限, 逐項求導求積分等要求的一致收斂的條件還沒有嚴格的論述);
通過比較同類項, 於是得到遞推公式, ,
於是尤拉得到了計算公式
NOTE:額外多說一句，尤拉曾經還這樣做過，對有限的 n 直接二項展開 （1+1/n）^n，然後再令 n 趨於無窮，再將有限項推到無窮，得到 e 的級數形式。這展示了尤拉對於數學非凡的洞察力，但是要說明的是，事實上這種做法是錯誤的，是嚴格的分析所不能接受的。
具體的真正最後要解決的還是證明 , 要搞明白這一點, 於是還是要回到對數函式上來, 也就是源頭. 出於需要計算對數表的需求, 選擇合適的底成為乙個重要的問題, 這也就是 誕生的故事.
以上都只是一些歷史的介紹, 以上拋磚引玉, 題主可以通過各種資料進一步學習了解, 題主所問的兩個公式也就自然聯絡到一起了.
好像有點答非所問
3樓：宮非
2018-12-27
最常見的四種e 的定義如下：
1). 定義e 為下列極限值：
----- (1)
2). 定義e 為階乘倒數之無窮級數的和：
----- (2)
其中，n! 代表n 的階乘。
3). 定義e 為唯一的正數x 使得
----- (3)
4). 定義e 為唯一的實數x 使得
----- (4)
這些定義可證明是等價的。那怎麼證明第1、2 的值是相等的？
第(2) 個定義只出現在高等微積分課本，對第一次認識自然常數e 的人而言，應該會覺得這個定義最莫名其妙，至少到目前為止，我們還找不到乙個說法讓e 要這樣定義。再換個角度看，它其實也就只是指數函式 的泰勒展開式，但這個冪級數在數學的分析領域裡卻是非常重要及好用的。
接著，我們以式(2) 為自然底數e 的定義，開始來解釋式(1) 的極限值真的是由式(2) 所定義出來的e。我們要考慮的是下面數列的極限：
實際上，我們沒有辦法直接得到數列 {} 的極限值，而是要借由知道 的極限值後反推而得。過程如下:
因為ln
故根據「羅必達法則「可以得到 的極限值為1：
又自然常數e 的定義是 ，也就是說，若ln x=1，則x 的值就是 e。因此，可由 的極限值為1，得知 {} 的極限為 e。(或這樣想：
因為 {} 的極限為e，所以才能使 的極限值為1)
要說明式(2) 中無窮級數和的值為e 其實很簡單，就只是對指數函式 做泰勒展開式後，代入x = 1 即可得到。唯一的問題就只是如何由式(2) 的定義得到 的導數，做法如下：
有了 的導數還是 的結論後，剩下的就只是去套泰勒展開式罷了。考慮 在 x = 0 處的泰勒展開式：
因為這個冪級數的收斂範圍為整個實數，因此可以令x = 1 代入而得到式(2)
----- (2)
故從這樣二個完全不同方向所得到的值會是一樣的。
Ref.:
解微分方程為什麼會出現個 e？
注：推導
= = =
= == = =
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