1樓：蒼龍轉生
這道題目的解答思路其實是先假設數列收斂，然後解方程求出極限。然後採用數學歸納法證明數列有界。因為數列顯然單調增加，所以可以用定理單調有界數列必定收斂。
這種解題思路是解決這一類題目的通法。因為只有通過解方程才能知道上下界。知道上下界後，才能採用數學歸納法。
2樓：真摯少年
定義１：（數列）乙個對映 稱為是乙個數列，記為 ．
定義２：（集合的上界）設 是乙個集合，若存在 ，使得對任意 ，都有 ，就說 是集合 的乙個上界．
定義３：（數列的上界）設 是乙個數列，若存在實數 ，使得對任意 都有 ，就說 是數列 的乙個上界．
定義４：（單調遞增）設 是乙個數列，若對任意 ，都有 成立，就說數列 是單調遞增的．
定義５：（數列極限）設 是乙個數列，若存在實數 ，使得對任意正數 ，都存在 ，使得對每乙個 ，都有 ，就說 是數列 的極限．
定理１：（單調有界定理）設 是乙個數列， ，如果 有界，並且是單調遞增（或單調遞減）的，那麼 存在．
命題１：設 是乙個數列，且 0" eeimg="1"/>，那麼 存在．
證明：單調性．
採用數學歸納法，當 時， ， ，於是 a_1" eeimg="1"/>，這說明 a_n" eeimg="1"/>對 成立．
現假設，對某個 ，有 a_" eeimg="1"/>，那麼就有
a + a_" eeimg="1"/>
那麼就有
\sqrt}" eeimg="1"/>
那麼就有
a_k" eeimg="1"/>
依數學歸納法原理， a_n" eeimg="1"/>對每乙個 都成立，從而數列 是單調遞增的．
有界性．
採用反證法，假設 無上界，那麼對任意正數 0" eeimg="1"/>，都存在 ，使得對一切 ，都有 M" eeimg="1"/>．
可是，當 足夠大時，表示式
為負．這說明 為負，從而與 單調遞增違背．矛盾．從而 是有上界的．
有下界嗎？有的．請讀者自證．
從而 即有上界、又有下界，從而 有界．從而根據單調有界定理， 的極限存在，不妨記為 （因為符號 已經被使用了）．
由遞推公式，我們有
讓 趨於無窮，我們得
解出 ，數列 的極限是 ．
點評：要證乙個數列極限存在，最簡單的辦法是去證它既單調又有界，顯然，這種開根號進行迭代的數列，很容易看出是有界的，開根號再開根號，你能開到無窮去嗎？不能，因為函式 0)" eeimg="1"/>當 足夠大的時候終究是會計算出負值，這是因為平方根函式趨向無窮的速度遠慢過線性函式．另外，我們要牢記定義、定理、性質，巧妙運用數學歸納法和反證法，這樣將可以達到事半功倍的效果．
如何證明收斂數列的任意子數列也收斂，且極限相同？
Houdini.Z 我把 張樂陶 的回答總結一下，你可以將原數列理解為乙個收斂於a的無限長數列，然後子數列是在原數列基礎上按一定規則取另乙個無限長數列，無論規則如何，只要是無限長的那麼它的極限必然與原數列相等。希望這麼說能幫助你理解。 原子筆 把數列看成曲線的取樣，能收斂就保證了取樣點序列中不會有違...
極限有界收斂三者之間的關係？
提莫燉蘑菇 看了各位的回答，我是不是可以這樣理解。把極限和收斂看成蘿蔔 有界看成葉子 所以蘿蔔一定會有葉子，有葉子不一定是蘿蔔，也可能是白菜 不過收斂和極限乙個是白蘿蔔乙個是胡蘿蔔罷了，對伐？ 黃金大菠蘿 收斂和極限存在乙個道理，1 對於數列 收斂則必有界，反之不成立。2 對於函式 收斂則區域性有界...
fluent如何判斷收斂？
Runner 這種殘差圖來看，顯然迭代步數還不夠，等你一直算到平或者規律性波動再來看。一般的收斂標準 1.最大殘差下到1 10 3次方以下 2.進出口流量幾乎相等，偏差 0.5 1和2中的2是優先性更強的條件，2偏差較大時即使1滿足也不算收斂，1不滿足時 殘差也不能太大 2滿足也可以算收斂 Comp...