1樓：T Young
這個應該是不對的。看了另乙個回答，雖然沒有看懂，但是受到了啟發。這裡給乙個反例。
考慮四維空間， 是一組標準正交基。假設 是另一組標準正交基，其中 在 張成的平面裡， 在 張成的平面裡。由於非對角元的限制，我們要找的小擾動其實只能在它們本身在的平面裡旋轉，所以其實限制太多之後能做的事情很少的。
下面把這個矩陣寫出來。
如果 要滿足在上述非對角元的6個為0的地方保持為0，必須有
由於第一列和第二列正交，第三列和第四列正交，所以其實對角線上必須是0，因此有
這與題設對角線上嚴格增相矛盾。
經題主提醒，補充說明一下：從上述的 的形式可以看出， ， ，所以要麼同時變大要麼同時變小，即使把題目中對角線上的要求從嚴格大於放鬆成大於等於， 的鄰域中也只有它自己滿足條件。
當 與單位陣 足夠接近時，這個結論就成立了。因為在 的鄰域內可以定義對數函式，
定義則 ， 。當 與 足夠接近的時候，因為 的每乙個元素都是關於 解析的，所以要麼嚴格單調增，要麼嚴格單調減，要麼保持常數。所以對於 的每乙個 都滿足題設的要求。
特別的，對於 的任意鄰域內，只要令 就可以達到要求。
2樓：
這個似乎是錯的。假設這種矩陣存在，那麼對於任意正交陣 ，我們就可以構造乙個路徑（這裡可能不夠嚴謹，我不大確定），把 和 連起來， 是對角元素為 的對角陣。
但是存在例子使得 ，在 的兩個不同連通分支裡面，矛盾了。
例子可以用3×3矩陣隨機生成得到。另外希望提問的時候盡量給一些reference……
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