1樓：
橢圓拋物面：
研究每個截面上的半長軸和半短軸。
設某一截面上半長軸為a°，半短軸為b°。
則由拋物線方程有
雙曲拋物面：
設截面拋物線方程為z=-k°y^2+m
頂點軌跡拋物線方程為z°=kx^2
則x取同一值時z°=m
即kx^2-k°y^2=z
用1/a^2和1/b^2表示k和k°即可
如果用xoy平面上的雙曲線方程代替頂點軌跡作為條件也能整理出來文科生上課隨手打的，不專業。
2樓：非常魚先生
雙曲拋物面還不會推導。
下面說說如何推導橢圓拋物面：見下面草稿圖：
首先在XOY座標面有拋物線y=x^2/(a^2),見上圖，然後假設點M1（X1，Y1，0）在拋物線上，那麼有
Y1=X1^2/(a^2),
接著把拋物線繞著Y軸旋轉，得到點M（X，Y，Z），有以下關係：
Y=Y1，見上圖旋轉示意圖。
點M與Y軸的距離保持不變為：
d=（X^2+Z^2）^（1/2），見上圖。
點M1與Y軸距離為：
d1=|X1|，見上圖。
上述2個距離d和d1是相等的，於是：
|X1|=（X^2+Z^2）^（1/2），再聯合上述Y=Y1，一起代入到Y1=X1^2/(a^2),得到：
Y=（X^2+Z^2）/（a^2），這是旋轉拋物面方程。
上述旋轉拋物面方程，被平面Y=t擷取時，只能得到圓形交線，不是橢圓。
於是把（a/c）·Z代替Z，代入上述旋轉拋物面方程中，得到：
X^2/（a^2）+Z^2/（c^2）=Y，這就是橢圓拋物面方程。
用類似的方法可以得到另外2個座標平面的旋轉拋物面方程。完畢。
3樓：wonderwind
不是先有曲面再有方程的，而是先有二次曲面的方程，再根據截痕法得出曲面的大致形狀。
要我說具體怎麼截？
很好，就是這樣。想對空間解析幾何有更深的了解你要去讀數學專業的教材。
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