1樓：DTSIo Shao
偶爾回憶一下本科的復變函式也蠻有意思的...
由二階線性常微分方程定義的特殊函式大多出自曲線座標系下二階線性偏微分方程的分離變數形式, 這一點一般的數學物理方程課程都會提到.
橢圓函式不是由線性微分方程定義的. 樓上的幾位似乎都沒有提及橢圓函式的乙個最基本的應用, 即解矩形區域的邊值問題. 實際上, 橢圓積分 (積分路徑是連線復平面原點和 的直線段)
把上半平面變成矩形, 而它的反函式就是引數為 的 Jacobi 橢圓正弦 . 這可以用來求解例如矩形薄板的定常溫度分布問題. 一般的多邊形區域的共形對映由所謂 Schwarz-Christoffle 公式給出, 橢圓積分是其特殊情形.
一般的 Schwarz-Christoffle 對映不可能具有如此簡單的性質, 甚至對於非矩形的或者非兩個正三角形拼接的平行四邊形也不可能 (不妨根據構造想想這是為什麼).
廣義相對論中 Schwarzchild 解的非類空測地線方程可以約化為
的形式, 這恰好是 Weierstrass 橢圓函式所滿足的常微分方程. 計算近日點進動所算的實際上就是這個函式同餘切函式之間的偏差. Jacobi 橢圓函式和 Weierstrass 橢圓函式之間存在簡單的代數關係.
更有趣的一點: "橢圓正弦"這個稱呼是怎麼來的? 在歷史上, 它表示的是"振幅的正弦", 而所謂"振幅" (amplitude) 指的是什麼的?
正是理想單擺模型精確解的振角. 理想單擺模型常常被約化為諧振子, 之所以能這麼約化, 是因為對於小引數 , Jacobi 橢圓函式 同通常的三角函式相差很小. 實際上, 即便 不太小, 兩者的差別也不會很大.
一般地, 橢圓函式被定義為雙週期的亞純函式. 很容易證明它一定由 Jacobi 橢圓函式或者 Weierstrass 橢圓函式的有理函式錶出. 這件事可以引申出很有意思的代數幾何, 不過這和"工程"已經沒有直接的關係了.
P. S. 乙個無聊的問題: 貝塞爾函式是不是初等函式? 回答見 DTSIo Shao：有沒有證明某函式不存在初等表示的一般思路？
2樓：francium bobo
只要是涉及到圓柱形的物體， 比如樓上大神說的反應堆堆芯， 航空發動機， 貝塞爾函式必然會鑽出個光頭。
當然我等學渣， 一般都是用貝塞爾函式的三角函式近似代替，吼吼。
3樓：王司圖
1. 貝塞爾函式
線性簡化假設下的聲壓波動方程：
引入波數後就是亥姆霍茲方程：
分離變數得：
柱座標下的拉普拉斯算符變為：
代入並消去常量得：
發現這就是個貝塞爾方程，其解即貝塞爾函式。
是以圓柱形流場中的徑向聲壓分布為：
Jm/Nm分別是m階第一/二類貝塞爾函式。
工程應用：航空發動機內部雜訊計算
2. 超幾何函式
非牛頓流體的管道流量-壓差關係, F1是阿佩爾超幾何函式，2F1是超幾何函式。
3. 橢圓函式
描述水面行波的KdV方程：
解析解：
其中cn就是個雅可比橢圓函式。
為何歐式平面幾何中不涉及橢圓的內容？
sunmerrain 古希臘人是可以用傳統歐氏幾何的方法解決二次曲線的。集大成者要屬apollonius的圓錐曲線論。用乙個平面截圓錐 可以是斜的 得到了所謂的圓周 齊曲線 拋物線 超曲線 雙曲線的一支 虧曲線 橢圓 並且得到了這些曲線的基本性質 比如橢圓，即類似於解析幾何裡的y 2 定值倍的 半長...
如何從初等幾何角度證明直線和橢圓最多有兩個交點？
基於經驗直觀的樸素體系 並不嚴密 從構造的角度 Apollonius 1從圓錐曲面的頂點到這曲面上的一點所連線的直線都在該曲面上 據圓錐曲面的定義，而該定義是乙個構造過程 推論 連線從頂點到這曲面內的某點的直線，它將在這曲面內 連線從頂點到這曲面外的某點的直線，它將在這曲面外 據Eucl.1 一條直...
幾何間隔為什麼是離超平面最近的點到超平面的距離？
長行 已知 為 n 維歐式空間中的 n 1 維超平面 其中 和 均為 n 維向量 另有 n 維空間中的點 求證 點 到超平面 的距離 其中 為 的 2 範數。證明如下 由超平面 的定義式可知 為超平面 的法向量，為超平面 的截距。設點 在超平面 上的投影為 則有 點 到超平面 的距離 即為向量 的長...