1樓：
對啊，就是有必然的關聯。
從微分的定義出發
乙個圓，當半徑r增加一點點時，這個圓所增加的面積不就是圓的周長乘以r的增加值嘛。
球同理，乙個球半徑增加一點點，那麼增加的體積不就是球的表面積乘以r的增加值嘛。
2樓：shm
Vn(r)＝2π∧(n/2)r∧n/(nΓ(n/2))Sn(r)＝2π∧(n/2)r∧(n-1)/Γ(n/2)這是n維球的體積和表面積公式。推導方法就是慢慢積，用引數方程和雅可比行列式。
然後就可以得出Vn(r)對r的導數是Sn(r)了
3樓：勝勳
當然有關係了
面積來自周長的積分，體積來自表面積的積分
圓的周長是 2 r，圓的面積就是「周長的積分」，所以是 2乘上等於球的面積是 4 ，球的體積就是「面積的積分」，所以是 4乘上 等於
4樓：
把平面上光滑凸圖形的面積理解為圖形外切折線構成的封閉多邊形面積的極限，周長則理解為多邊形周長的極限。再考慮平面上一點D，把折線的所有端點和D連起來，得到若干個三角形，這樣圖形面積就可以用這些三角形面積之和來逼近。向圖形外延長D和各端點所連的線，使延長後的線長度為原來的(1+c)倍，再依次連線延長後各線的端點，得到若干三角形。
這些三角形就可以用來逼近與原來圖形位似，位似中心為D的凸圖形的面積。
現在考慮原凸多邊形的面積，取凸多邊形內一點D，連線D與各頂點，得到若干三角形。則多邊形面積 ，h和l是分別是各三角形以D為頂點的高和底，位似多邊形的面積為 。因為現在我們只考慮某一種凸多邊形，所以這個圖形可以完全由多邊形某條邊上的高來決定，記這條高為 ，凸多邊形面積可以寫成 ，面積隨這條高變化的導數就是：
。如果所有的高 都相等的話，等式右邊就是 求和，就是多邊形的周長了。對於正多邊形，如果選多邊形中心到各邊距離為引數，把面積和周長分別表達出來，那麼周長恰好就是面積導數。
比如正方形此時面積4x^2，周長8x，後者為前者導數。
圓的特殊之處就在於其可以在逼近過程中一直用正多邊形來逼近，上述等式前的所有和號前面再添乙個極限號，仍然成立。
球的情況類似，但是要注意球不能用正多面體來逼近，保證用來逼近的多面體存在一中心到各面距離相等即可。但是還沒見過有什麼書用外切多面體體積的極限來定義物體體積的。。所以可能有不嚴謹的地方。
5樓：海貓
考慮乙個寬度極小的圓環，它的內外周長可視作相等，那麼展開來的細長的長方形的面積dS=Cdr，也就是S'=dS/dr=C了。
球同理。考慮乙個寬度極小的兩個同心球面所夾的立體，內外表面積近似相等，展開後的細長長方體的體積dV=Sdr，就有了V'=S了。
希望對題主有幫助。
6樓：
本質是這個定理？
怎樣理解格林公式和高斯公式？格林公式和高斯公式在物理或者其他領域有什麼意義？
表示了在高維流型(Ω)內的積分和沿著低維（即高維邊界偏Ω）的積分的關係是相等的
說明當我們想計算整個高維的資訊的時候，其實只要知道其邊界的資訊就夠了比如三維球的體積（體積分）等於在圍成三維球的面（三維空間中的二維曲面）上的面積分；二維圓的面積（面積分），等於沿著圍繞其的曲線，即其周長的線積分。
7樓：楊笛笛
你想象一下乙個園的面積A是它半徑r的函式A（r），如果我們把r拉長，那麼這一瞬間A（r）會增加多少？ 增加的就是最外面那一層呀。外面那一層是什麼？
就是周長C。所以A的瞬時變化率是C，A'＝C
球體積V是它半徑r的函式V（r），如果我們把r拉長，這一瞬間V會增加多少？增加的是最外面那一層，也就是球的表面積SA。所以V的瞬時變化率是SA，V'＝SA
我是在國際高中教微積分的，所以解釋起來比較「通俗易懂」（畢竟要讓學生聽明白）。我猜題主能問這個問題應該也是初學者，複雜嚴謹的證明應該也會看著頭痛吧...
8樓：Mephisto
①已知圓周長 和圓半徑 滿足 ，求證圓面積 。
證明：以圓心為極點作極座標系和微圓環，其內半徑為 ，外半徑為 。
那麼，微圓環的面積為 。
也就是說，微圓環面積等於其內周長與寬度之積。
將所有微圓環面積累加即得到圓面積，也就是從 到 對 進行積分。
。證畢！
所以，以圓半徑為自變數時，圓周長是圓面積的導數。即②已知球表面積 和球半徑 滿足 ，求證球體積 。
證明：以球心為原點作球座標系和微球殼，內半徑為 ，外半徑為 。
那麼，微球殼的體積為 。
也就是說，微球殼體積等於其內表面積與厚度之積。
將所有微球殼體積累加即得到球體積，也就是從 到 對 進行積分。
。證畢！
所以，以球半徑為自變數時，球表面積是球體積的導數。即 。
注意，以上證明過程，不能以 和 為依據，否則淪為迴圈論證。
當 時，二重積分元趨向於長方形。那麼，
，其實引用了長方形面積公式。
當 時，三重積分元趨向於長方體。那麼，
，其實引用了長方體體積公式。（證明省略。）其實以前學物理的時候也有這樣的例項。
位移的導數是速度，速度的導數是加速度，加速度的導數是加加速度，……。原來歷史上，Isaac Newton就用位移的導數定義速度的……
9樓：Emmit Luo
這是我的理解，對於乙個半徑為r的圓，它的周長為2πr，那麼找乙個比這個圓半徑只小一點點「dr」的「小同心圓」半徑為「r－dr」它的周長為2π(r－dr)，再來乙個比這個「小同心圓」小一點點dr的「小小同心圓」半徑為「r－2dr」它的周長為2π(r－2dr)，一直到圓心處有乙個最小的半徑為0的圓，把這些所有的圓周長加起來就組成了原來那個半徑為r的圓的面積，也就是從0到r對2πr進行積分，結果就是πr。
對於球體也一樣，有乙個半徑為r的球殼，然後一層一層的積分，就得到了它的體積。
橢圓 面積 難題 求解？
天色 瀉藥我們假設此橢圓是乙個行星繞中心天體執行的軌道，行星距離中心天體為r t 克卜勒第二定律，行星相同時間段內，r t 掃過的面積相等。所以每個線段見的夾角都是十六分之一的週期掃過的角度。設行星單位質量的角動量為h r r 為角速度。因為引力和r的方向一致，所以行星單位質量角動量為一定值，可以求...
面積有限的物體，周長是否有限？
白九道 很多人都在說有限面積證無限周長，其實反過來，假如有一段無限周長或者很長的線，你可以對其圍成的面積進行改變，只需要向裡捅一捅，面積就會小一點，捅多了，面積就會小的多，多大的周長都可以做到某個面積不是麼？ 可以。1，構造乙個邊長為1的正方形A0 2，將A0平均4分 田 字形，然後順序連線四個小正...
如何用簡單的方法證明 在周長一定時，圓的面積最大 ？
特有風格 我也來發表一下我自己的想法。關於這乙個周長一定面積最大的問題，我們可以用 長度的利用率 來說明一下為什麼圓是恰到好處的利用了每一單位的周長，沒有一丁點浪費。1，在每乙個不規則的封閉圖形內部都可以任意找乙個點，我們暫且當作這個點為該圖形的 中心 2，我們現在來考慮一下外圍的周長怎麼樣才能和這...