1樓：
可以先把整個球面看成圖中的上下兩個曲面，然後採用柱面座標來計算這個半徑為 的球體的體積。
易知由於 ， ， ，因此可以知道，
， ， ，
那麼體積就是:
我們也可以使用球面座標來計算，直角座標與球面座標的轉換公式為：
， ， .
先設向量 ，那麼也就有
分別取偏導數，則得到：
計算雅可比行列式：
而這個半徑為 的球的體積自然就是 ， ， 上的積分，因此也就是：
2樓：
三維空間中的曲面可以由 給出，其中 在 平面中的某個區域內變動.
*Definition.1.稱為給定曲面上的座標.
*Definition.2.稱點 是非異的，若在該點滿足的雅可比矩陣秩等於2.
Example.1.可以在球面上引入座標 使得 , ，，( 是球面的奇點.
設 中的乙個曲面由引數給出:，，其中 是曲面上的座標.以座標給出的曲線 ，定義了在我們在中曲面上的曲線 .
它的速度向量為 ，其中 ， .
*Definition.1.以, 為基張成的二維空間稱為該點處的切平面.
顯然在切空間內速度向量的座標為 .
Example.1.對於拋物面 ， ， ，則 ， .
設給出了曲線 ， ，它的長有形式 ， .
此處 是曲線在座標 下的速度向量，而 ，其中 ， ，是在座標上的黎曼度量.
自然的，我們認為曲面上的曲線， 在三維歐氏空間中的長是它的長.
那麼有 ，
依據 ，得到 ，其中
如果令 ，
則 " eeimg="1"/>， ， ，這也可由內積的性質直接推出.
*Definition.1.稱 為曲面上誘導的黎曼度量.
假定在給定座標 , 平面上給出了黎曼度量 , , .記 , 為該平面的基，記, 為歐式空間的基，則可以將, 寫作, 的線性組合
那麼我們有
=a_a_+a_a_}\\ g_=g_=<\bar},\bar}>=a_a_+a_a_\\ g_=<\bar},\bar}>=a_a_+a_a_ \end\right." eeimg="1"/>
記 ，有 ，則 .同時注意到 的幾何意義正是, 張成平行四邊形的面積.
另外注意到 " eeimg="1"/>，故 ， 表示向量積，其幾何意義是切空間的基張成平行四邊形的面積.
通過比較，可以發現，像對長度的度量一樣，面積的度量不依賴於座標的選取.
Definition.1.稱 為曲面 在區域 上的面積.其中 在 平面中由引數給出.
Example.1.在球面上引入座標 使得 , ，，那麼黎曼度量有形式 ,可得 .
Example.2.對於拋物面 ， ， .可得 .
Exercise.1.嘗試證明球表面積公式 ，及體積公式
易得，有=
3樓：redegg
更新 2021-03-11
這裡是補充一些內容：
積分靠直觀感受容易出事，所以在積分前，最好要搞明白微元是什麼，積的是什麼，例如體積積的是無數個小的體積而不是面積，面積積的是無數個小的面積而不是長度。
為什麼呢，在證明球的表面積時，就會出現以下問題：
很明顯右邊的做法錯了，但是和左邊的式子只是少乘了個R的區別
靠直覺去算表面積，表面積不就是無數條線積起來嗎？還真不是。表面積是無數個小的表面積積起來的，一條線沒有寬度，無數條線壘起來還是沒有寬度，只有長度沒有寬度，也就沒有面積。
既然是積面積，面積是長乘寬，上圖中下面那部分式子寫了什麼是長什麼是寬，過程是很清晰的。
當初就因為這個混亂過，才發現自己沒有把簡單的概念去理解透，這也告訴我不要急於求成，回顧自己這三年，往往就是基礎不牢摔了許多跟頭，所以我寫這部分內容，也算是給後面的一些想要學習積分的朋友的提示吧。
原回答-2018-09-24
這可能就是傳說中的自問自答吧。
高中選修2-2裡面我看完了。
然後問題就很簡單了，下面是證明，字醜，而且高一學生書寫格式不標準，請大佬們多多指教。
再補一張大學的證明方法:
4樓：
不知道你這個中考指初公升高考試啊，還是大學的期中考試。
如果題主是初中生，那思考能力很值得鼓勵，如果是大學生，高數老師要被你氣死
球體可以看成是圓繞其直徑半周（而不是你說的一周）而成，也可以看成是無數切片（無限接近的兩組平行面切割球體所得）自上而下堆積而成。
這兩種看待方法都可以用積分的思路來推導球形體積，只不過前一種要在球座標系下做積分。
如果兩個物體被任意平面切割的截面面積都相等，那麼這兩個物體體積相等。乙個半徑為r高為r的圓柱挖去乙個半徑為r高為r的圓錐所得的物體被平面所切割截面面積，和半徑為r的半球被平面截的的面積處處相等。所以半球體積為pi*r-1/3pi*r，球體體積則為4/3pi*r。
以上用初中的知識應該能理解，嚴謹詳盡的推導方法要用積分，如果是初中生也看不懂。
你描述裡的計算方式是針對二維圖形平移所形成的三維物體的體積計算方法。旋轉所形成的圖形或者物體不能這麼計算，要用極座標或者球座標對角度進行積分。
地球體積在銀河系體積中是什麼概念？
趙永琢 依照乙個分子的直徑是1埃核算，1埃 10的負10次方公尺。籃球的直徑是0.25公尺算那麼0.25 1埃 2.5 10 9倍，也即25億倍。銀河系的直徑10萬光約 萬萬公里，地球的直徑是按6400公里核算那麼 萬萬 6400 1478250億倍。很顯然這個比方打小了。1478250 25 0....
阿基公尺德和祖沖之兒子是怎麼算出球體積公式的？有人能詳細說說嗎？
這個原理的退化形式正好解釋為什麼底面積相同且等高的圓柱和稜柱體積相等，因為他們的體積公式都是底乘高，圓錐和稜錐同樣適用。再退化一下，還能解釋矩形和平行四邊形的面積為什麼都是底乘高 長和寬可以看作另一種意義上的底和高 仔細想想，這裡面其實是微分思想。了解了祖?原理 其實並沒有 就開始說說如何用這個方法...
圓面積與周長C S 球體積與表面積S V 。這其中會不會有什麼必然關係？
對啊，就是有必然的關聯。從微分的定義出發 乙個圓，當半徑r增加一點點時，這個圓所增加的面積不就是圓的周長乘以r的增加值嘛。球同理，乙個球半徑增加一點點，那麼增加的體積不就是球的表面積乘以r的增加值嘛。 shm Vn r 2 n 2 r n n n 2 Sn r 2 n 2 r n 1 n 2 這是n...