1樓：樂學者
對於這個問題，我們且先不說Dirac符號系統優越性在哪，也不說為什麼不使用張量作為量子力學的數學語言基礎。我們不妨來看看如果把量子力學用張量的數學語言來表達，該如何表達和能表達嗎？然後比較一下看看能不能得到這個問題的答案。
我們先說張量，對於張量來說，我們可以用 來表示乙個張量。對於0階張量，它是乙個標量——即乙個在座標變換下不變的數；對於一階張量，它就是乙個向量，它可以表示為 ；對於二階張量，它則可以表示為 。上面的 、 是抽象指標。
當然，也可以用具體指標來表示，如 、 等等。那麼，如果量子力學也用張量來表示的話，該如何表示呢？我們知道，量子力學中的態矢是希爾伯特空間中的向量，所以它可以表示為一階張量。
對於一階張量，我們可以把它的分量展開式寫為：
那麼類似地，我們可以把在位置表象下的態矢 表示為：
所以可看到，Dirac符號 就相當於是乙個抽象指標，它的意義在於指明這是乙個向量。在這裡我們應注意到，這裡的具體指標 可以取任意的實數，所以這個向量是無窮維的。而且 是具體指標 的函式，即有：
而 則是這個向量空間的完備基底。
類似地，我們給出：
那麼Dirac符號 就相當於是指明了這是向量 的對偶向量。
下面我們嘗試給這個向量空間定義度規，因為我們知道度規的意義在於使乙個張量空間可以定義內積。我們已經知道，在量子力學中，內積定義為：
而根據(2)與(4)，我們有：
上面的積分相當於有限維時的 。對比(5)(6)式我們得到：
可見它們是滿足基向量的對偶條件的。對比(5)(6)式我們還可以得到：
這意味著：
其中 相當於(8)式的 ， 相當於(8)式的 ，注意 與 並不表示兩組正交的座標而同為 表象中不同的值。上面的 就是度規，但這個度規不是與態矢無關的，而是依賴於態矢的本身。即把乙個態矢變換成其對偶態矢的度規，依賴於這個態矢。
這使得內積並不滿足交換律。
上面的論述表明如果用張量的語言來表達量子力學，那麼相應的度規的定義是十分奇怪的。
設 是乙個張量，那麼它在基底 下的分量就是：
如果是座標系 下的基底，是座標系 下的基底，那麼在基底下的分量就是：
由於：所以：
類似地，如果我們用張量 來表示態矢，用來表示動量表象下的本徵矢——相當於基底，那麼該態矢在基底下的分量就是：
由於 用位置表象下的基矢來表示時，有：
這個關係由方程 解出並考慮了歸一化，其中 是動量算符。結合(9)式與(16)式我們得到：
於是結合(6)、(7)與(17)式我們得到：
可見，從位置表象變換到動量表象，實際上是求態矢在不同的基底下的分量，它是滿足求張量在某組基底下的分量的一般法則的。
綜上所述，如果我們把Dirac符號理解為抽象指標，把本徵態矢理解為一組完備基底，那麼原則上我們是可以用張量的語言來描述量子力學的。這時有：
大家說，如果我們拋棄Dirac符號，把量子力學改用張量語言來描述這到底好與不好呢？
2樓：Kangning Liu
場論中不用是因為有指標意味著指標可列，但是場論中指標不應該可列，應該改為積分，這時不如用Dirac。
量子力學中完全可以使用，但是需要注意無窮維矩陣可能遇到的問題。最典型的就是求跡可能不滿足交換律，但是密度矩陣的定義需要求跡交換律，這依賴於密度矩陣的良好收斂性：其跡對應的求和是絕對有界的（實際上就是1），因此和另乙個收斂的數列乘積求和可交換。
然而如果矩陣的跡不絕對收斂，那麼就不能保證交換律，比如高讚回答舉的栗子。基於此不建議使用指標，因為指標有用在於座標變換和縮並不用寫求和號，但是如果求跡沒有交換律，你必須保持求和號，這就沒優勢了。
3樓：
拿線性代數去寫可以，其實只是換了個符號系統，本質就是做了個翻譯，其實沒變化。
更進一步講的話，這裡面有三個不同的事情：
幾何座標以及各種向量叢裡面的座標系，這些你可拿愛因斯坦記號去寫。
可觀測量空間：都是比如動量、能量算符之類這種（偽）微分運算元，這個空間是很大的，而且這個空間有一些像泊松括號一樣的代數結構，而一般來說面對有一定對稱性的具體問題，可能會選擇這個空間的乙個比較小的子空間，比如你解氫原子軌道用的各種角動量算符。
希爾伯特空間：一般是什麼區域性鄰域上的函式，然後可觀測量可以（酉）作用在它上面，這就是狄拉克記號表示的那個空間，這個空間是無窮維的。
若從幾何量子化的觀點，把希爾伯特空間改成像相對論那種幾何座標系，是不太行的，因為量子化得到的算符空間(2)、希爾伯特空間(3)和幾何的切空間/餘切空間(1)不是一回事，而是更為複雜的乙個空間——實際上，你可以構造出來一堆很複雜的（比能量算符複雜）的可觀測量——你只要寫下來乙個微分運算元，然後它厄公尺自伴就行。而且如果你去解帶不同可觀察量算符的偏微分方程的話，基礎解系可能互相之間也沒什麼關係，因此你也沒什麼辦法去給你的希爾伯特空間去預先選好一組基（雖然不是不可以，但那情況下會很痛苦，你可能要面對乙個無限多行和列的矩陣，或者壓根沒辦法），而是得具體問題具體分析。這就導致其實在希爾伯特空間裡面搞愛因斯坦記號之類的沒啥用。
況且，從我個人比較偏頗的觀點，比如動量運算元、哈密頓運算元所在的那個空間，是比較核心的乙個物件，因為它和具體物理問題裡面的群作用有密切的關係。而底下的那個幾何空間，其實可能就是比較次要的了：一種群作用可能適用於許許多多的幾何環境，有時候這些幾何環境甚至可以從群作用本身出發去構造出來
4樓：東雲正樹
答案就是不可以, 因為無窮維復內積空間不能進行指標運算.
上次看到這個問題的時候我還沒摸過任何一本量子力學書籍···
多年後的今天, 我形式上地統一了(物理學範圍內的)有限維內積空間與度規空間的記號.
這個記號的乙個意外收穫就是順便統一了不定正交群與么正群的條件.
再回來看到這題感觸良多, 也直接認識到了無窮維線性空間實際上並不能看作是有限維的直接推廣.
我在[終 · 一步到位的張量指標運算]的文末新增了一大段, 匯出了如下結論:
內積空間的一階張量有
度規空間的一階張量有
內積空間的 (1,1) 型張量有
度規空間的 (1,1) 型張量有
正是這個記號系統, 成功地統一了內積空間與度規空間, 總之就是兩條結論:
(1). 取復共軛後所有指標上下對調, 在度規空間中則用度規作用代替復共軛.
(2). 取對偶空間的伴隨式等價於轉置後取復共軛, 在度規空間中則用度規作用代替復共軛.
在這樣的符號體系下還可以形式上統一不定正交群與么正群的條件(不是很重要):
詳見[洛倫茲變換分量係數的指標能被閔氏度規公升降嗎?].
么正群(unitary group):
不定正交群(indefinite orthogonal group):
從不定正交群的保度規條件 出發:
由此一來不定正交群的條件也可被記為 .
這就統一了不定正交群與么正群的條件.
但要注意這個 是依賴於度規的: .
上述記號在復內積空間適用是可證明的:
模仿量子力學中伴隨關係有 .
┣ 其中 , 而
┗ 這就是量子力學中的 .
結論 的正確性驗證如下:
┣ 內積空間: .
┗ 度規空間: .
上面是形式上的統一, 具體到矩陣運算的相容性也是可證的:
但那都是有限維的情況與形式上的統一, 無窮維情況下的具體計算確實是會碰到難以調和的矛盾.
若試著用這套記號來處理高讚答案中的那個例子, 則結果如下:
除此之外我記得還有很多小細節都暗示著無窮維會帶來許多不同的結構.
比如說 叫等距算符, 等距算符不一定是么正算符.
但在有限維中等距算符一定么正 .
例如 就是一例, 此時 .
不難想象若 是乙個無窮維矩陣則
但即使 是乙個無窮維矩陣 也絕不可能為單位陣:
因為那個零開頭就出來了.
另外量子力學中有大量的對稱性, 這樣會帶來許多的李代數結構, 然後量子力學中李群的表示全都是么正表示, 而有些李群(比如說洛倫茲群)在有限維表示中不存在么正表示, 所以總是無窮維不可避的.
量子力學的希爾伯特空間本質上只涉及 (0,1), (1,0), (1,1) 三種型號的張量, 所以左右矢與算符可以恰好描述所有的操作且簡潔明瞭.
量子力學的形式運算更側重對易關係而並不在乎正交基底下的矩陣元的具體形式, 所以分量運算沒多大必要也是在自找麻煩.
無窮維內積空間與有限維內積空間結構上有很多相似之處但並不能直接推廣所有性質.
具體差異與聯絡的研究估計(我沒學過)都是泛函分析的內容, 但希爾伯特空間不怎麼涉及參考係的變換或基底的正交變換, 總之就是不怎麼用得到分量, 所以入門量子力學可以不懂泛函分析.
內積空間可以與帶度規的空間統一形式處理, 但僅限於有限維.
內積空間的形式統一是有意義的, 因為除了量子力學, 在群的表示理論中除了廣義的正交群之外幾乎所有的表示都是有限維複線性表示, 其對應的表示空間就是有限維內積空間.
哦對了, 我剛還把異世界魔王 ED 中的雷姆摳出來了, 希望這季度 BD 給力點吧(悲).
5樓：L.CCC
唔。。。稍微再提個幾句。。。
1.狄拉克符號不僅identify了「對偶向量對向量的作用」和「內積」，而且也identify了 和 ，也就是會把運算元寫成諸如 的形式，比較好算。
2.得益於譜定理，連續譜的完備性關係也得到了保障 ，形式上就和離散譜一樣了。（雖然這可能弊大於利）
3.張量形式的記號在預設基的情況下比較好用（比如預設上的自然基），而qm中基往往選取為某組力學量的本徵矢，不同的力學量對應不同的基，常常會有換基的麻煩，故而用往 裡標註量子數的方式比較好。
emmm其實也沒啥太大好處，就是狄拉克想了出來也確實方便美觀後人就跟著用了，狄拉克也發明過c-number/q-number的概念，但現在除了搞量光的估計也沒啥人用了。。。
6樓：
這是乙個很好的問題。任何一種語言都有慣性，慣性的養成和改變不是一朝一夕的事情，有歷史偶然性。
在量子力學中，狄拉克符號使用起來方便。在相對論中，愛因斯坦求和約定用起來方便。在張量範疇和量子多體理論中，圖形演算用起來更方便。前兩個是表象，最後乙個，即圖形演算才是本質。
從語言上統一量子力學和廣義相對論只是乙個苗頭，真的統一需要把這種語言上的統一昇華成原理才行，這是乙個系統工程。不過提問者能看到這個苗頭也是非常不錯的。
如何評價狄拉克（Dirac）的《量子力學原理》？
個人基礎不同不要學我，我是數學基礎超過量子力學的要求。考研數學模擬 真考沒下過130 業餘愛好解偏微分方程 證矩陣分析的定理玩，這些都是我自學的。所以上來直接看的Dirac的書，數學玩一樣的。1.咋感覺這傢伙代數功底不行啊 有個別定理都是猜測性證明，數學證明給的都是特例。沒簡併 代數重數 1，推出運...
量子力學和量子場論的不相恰？
量子力學本身是基於牛頓力學的絕對時空觀而建立的體系，最明顯的特徵就是把時間作為理論中的核心引數。所以，量子力學體系自身會有乙個原理性的矛盾，其公理認為 可觀測量對應厄公尺算符 然而對於特殊化的時間就沒辦法給出對應的厄公尺算符。狹義相對論理論要求時間和空間具有某種對稱性。所以對量子力學中 時間的引數化...
量子力學中有哪些常見的分布？
這個問題好奇怪啊！如果說某波函式的模方的話，也就是屑 劃掉 諧振子基態在座標空間的分布是個高斯分布 當然動量空間也一樣 其他態的分布都不那麼典型。2.還有就是氫原子的基態波函式，在量子化學中稱Slater type function。其座標空間分布是乙個指數衰減分布 圖是一維極座標，三維笛卡爾座標系...