1樓：心緣
凹凸性是相對的，是依據參考係而言的，參考係不同，凹凸性就不同，凹可以變成凸，凸可以變成凹。就比如說，「凹」這個漢字，它是以下面的橫線為參照物的，那麼它是凹下去的。但是如果在「凹」上面畫一條橫線，那它相對於上面那條線就是凸起的。
在日常生活中，我們通常預設把地面作為參考係。比如凸起的小土堆，相對於地面是凸的。但是相對於天空平行線，土堆它就變成凹的了。
在大部分數學課本上定義的凹凸性是以y軸正方向的向上方向為參考係的，也就是以天空為參考係，所以數學中定義的凹凸函式的曲線就與我們日常說的凹凸性是相反的。
數學中一般都是以y軸正方向，x軸正方向為參考。
所以判斷函式影象凹凸性的乙個很好的辦法就是在影象的上方畫一條平行於x軸的直線，函式影象左右兩端點以垂直於x軸的線段連線上述直線以形成乙個封閉圖形， 即可方便準確的判斷函式的凹凸性。
2樓：若羽
呃。我看了下Boyd的那本書，明明這樣定義的。
如果函式 是凸的， 是凹的；如果函式 是嚴格凸的， 是嚴格凹的。
你們這群壞人！
3樓：
convex本義就是凸，所以肯定是不能譯成凹的。所以所謂凸，並不是指函式影象的碗狀，而是指函式影象任意兩點的連線總是在函式影象的上方。
4樓：疾風之科基
你可以認為凹凸是對原點或者x軸而不是對視覺。在對平狄克微觀經濟學的影象解釋裡就很好的用到了這一點。
上面的解釋並不是在回答問題而是在秀自己啊_(:з」∠)_
5樓：ivy zheng
我想說，並不存在什麼凹函式，只有上凸和下凸之分，都是凸函式。不是凸函式的，就是非凸函式，而凹函式沒有任何實際的定義可以支撐。
出現這種混亂，主要原因是上世紀70年代，很多人為了評職稱出教材。那時候出本教材不容易，需要有創新點。但是教材都是完全證明正確的了，怎麼搞創新點，於是就多出來這麼多五花八門的定義。
再比如概率統計中，有個名詞叫分位點。實際上分位點定義只有乙個，但國內教材有些又有上分位點、下分位點，然後你就發現不同教材的正態分佈表、卡方分布表、t分布表和F分布表都是反的，是正好相反那種...所以如果你考研，需要搞清楚它們之間的關係。
還好，現在教材開始回歸國際主流了，還遇到這種，只能算命不好...
補充一點：話說中國漢字，我覺得太形象了，所以有一段時間非常糾結於「凸」這個字，因為它應該是凸集，但實際上「凸」卻是非凸的，這對強迫症者是乙個重擊。
6樓：AMYLEOINGKY
中國人主要是考慮形狀來定義的：人家老外是從凸集與凹集角度來定義（你可以這樣理解，人家定義的凸函式是凸向原點，在咱們看來是「凹」形的，同理可解釋凹函式）
7樓：娜娜
曲線的凹凸性，即「凹」型和「凸」型是以曲線對應的實數軸而講的。比如在二維座標軸的x軸和y軸中，曲線的凹凸就以曲線對x軸的模樣來決定的。
8樓：嚶嚶coco
凹凸本來就可以轉換，我覺得可以把原點當做標準，象限沒有邊界，在象限裡看影象主要還是和原點比較吧，凸向原點的是凸函式，剛好能對的上。
9樓：wen li
這是乙個提的非常好的數學疑問。1）不一致產生的原因：中國的大學數學分析或微積分早年主要譯自前蘇聯的」菲赫金哥爾玆「和」斯公尺爾諾夫「兩個版本，在那裡凹凸的概念與漢字的形狀是一致的。
改革開放以來，歐版微積分教材或美版教材大量引入，它們的凹凸概念與我們目前使用的概念不一致。2）英文版凹凸的定義：通常凹凸兩個詞不同時使用。
或單獨使用凸定義凹凸，即我們的凸英文定義為上凸（從下向上凸），我們的凹它們稱為下凸（從上向下凸）。或單獨使用凹定義凹凸，我們的凸英文定義為上凹（從下向上凹），我們的凹英文定義為下凹（從上向下凹）。3）兩種文化差異。
我們喜歡直接面對問題，又有直接的漢字和圖形對應，它們喜歡從不同的角度看待問題，也有文字和圖形的部分對應。4）還用一種可能就是第乙個翻譯英文凹凸的人將意思弄反了。5）從有利於數學教育和國際交流的角度，有關的機構應對這種不一致定義給予統一規定。
例如，樣本方差定義，在教育部的考研大綱中就明確規定除以n-1的為樣本方差。
10樓：
如 @yukirock所引用的，中國大陸數學界某些機構關於函式凹凸性定義和另一些機構不同。
那麼我們來講凸函式（convex function）為什麼叫做是凸（convex）的：這是因為凸函式與凸集（convex set）有聯絡，而凸集的定義沒有爭議。
1. 凸函式與凸集通過 sublevel sets 這個概念聯絡起來。
首先來看乙個函式的 sublevel sets。對於函式來說，它的-sublevel set 是這樣定義的:
也就是在函式定義域內，對應函式值小於的自變數的取值構成的集合。
聯絡1：對於任意來說，乙個凸函式的-sublevel set 是乙個凸集。
注意該命題的逆命題不成立。為了更好的理解這個概念，以及逆命題為什麼不成立，我們來看乙個例子（圖來自參考資料）：
這是乙個定義域和值域都在裡面的函式，它是非凸的。它的-sublevel set 就是，顯然是乙個凸集。我們甚至可以看到對於這個函式，給定任意它的-sublevel set 都是凸集，但這個函式不是凸函式。
這樣的函式有乙個名字叫做 quasiconvex.
2.凸函式與凸集通過 epigraph 這個概念聯絡起來。
接著看乙個函式的 epigraph。它是這樣定義的：
這個字首 epi 好像是 above 的意思，那麼epigraph的意思大概是「上方的圖」。對於的函式，它的 epigraph 就應該是的子集。
接著看剛才的栗子，這個函式的epigraph就是函式上方的灰色部分（原諒我）：
看到了嗎，這不是乙個凸集。
聯絡2：凸函式的 epigraph 是乙個凸集，反之也成立。也就是說，乙個函式是凸函式，當且僅當它的 epigraph 是凸集。
參考資料：
Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.
突然發現 sublevel sets 和 epigraph 這兩個概念也是相對的，把 sublevel sets 定義的小於等於號換成大於等於號說不定就有了 "superlevel sets", 同樣的還可以定義 "hypograph", 所以可能凹凸的分別還是 by convention吧？
11樓：
這個問題我幾年前也糾結過，後來還專門查了下是什麼原因。
後來發現其實是因為中國在大業後緊跟前蘇聯，所有的基礎科學都是或翻譯、或借鑑自蘇聯的教材，而經濟學很多流行教材是美國人寫的，美國人和蘇聯人對凹凸的劃分恰恰相反。
其實國內也有和美國一樣的表述，記住這點，你就可以發現哪本教材是蘇聯模式，哪一本又是美國模式。
但不管怎麼來表述，其本質沒有改變，在什麼山就得跟著唱什麼歌。
12樓：葉添
看范里安的微觀經濟學時，書本上那凹凸曲線和曲線方向是相反的，不知道樓主是否也是看外國的經濟學教材才出現這種情況？我去翻了下同濟版的高等數學，但那裡的曲線凹凸和曲線方向是一致的。
我個人猜想，經濟學上的函式曲線是反函式曲線，其影象上是凹的，原函式那就是凸了。
13樓：
有時候就是乙個稱謂，有歷史原因，約定俗成什麼的，完全不必糾結
就像rational number譯成有理數而不是可分數一樣
14樓：
凹凸函式本質上是指函式斜率的增減，即區分函式二次求導後大於零和小於零的情況。以前老是教過記憶的方法：就是影象與x-軸比較，凸向x-軸的是凸函式，凹向x-軸的是凹函式。。。
15樓：Hugo-Q
因為曲線上方的區域是凸的嘍^_^,在一般的線性空間裡都可以定義凸集(其中任意兩點的連線都在集合內),為了和這個定義統一,視曲線上方的區域為R2中的乙個集合,凸函式的話,這個集合是凸集.對於運籌學,我看的教材都習慣研究最小化問題,所以這個定義也是方便的......
16樓：
上大學時，我們使用的教材是北大出版的「數學分析」，好像與華東師大出版的「數學分析」關於凹凸函式的定義就是相反的，亦或是同濟大學的那本，具體忘記了。上課時以其中乙個為標準，遇到相反的互換一下就可以了。
名稱上的糾結意義不大，知道是哪兩個函式就好。
17樓：
為什麼在座標系中點往正方向移動在表示式中要用減號？為什麼乙個表示式表示的形狀變胖了用的是除不是乘？——它們與日常生活直接的想法相比歷來是反的。
哈哈。上述問題是有答案的，而且與這個答案不同，權當記憶。理解凹函式=上凸函式你還可以這樣記憶：
什麼是凹？邊際遞減（二階導為負）的為凹！這樣就對得上了
程式設計的函式和數學的函式為什麼都叫函式？
哲學嘉 本質是一樣的，電腦程式的函式概念基於數學上的函式，只不過加了一些操作在裡面，所以變得跟數學上的函式有點不一樣 計算機中的函式包含輸入 輸出 資料處理還有操作 比如輸出到螢幕 而數學上的函式只關注數。在數學上，輸入 資料處理 輸出，這三者缺少任何乙個都是沒有意義的，而在電腦程式裡，就算你輸入 ...
為什麼很多數學證明總要研發乙個新的概念或者理論來證明原命題，在原命題的體系內無法證明嗎？
jiaqi feng 我理解是證明的方式實在是太長了,不搞點新的概念或理論出來,證明起來實在是太長太煩了.人腦子估計同時放不下那麼多,所以定義幾個新概念方便人腦理解.而且,這些新概念新理論在其他地方也很有用啊,省了很多交流的成本.反之,一道積分題,我完全可以從1 1 0開始給你證明出來.你覺得你會喜...
為什麼優化損失函式的上界可以優化損失函式？
DomainAdaptation 題主所說的應該是非凸的0 1損失函式和相應的替代損失函式吧。在非代價敏感的分類的問題中，我們最容易想到就是用0 1損失函式來度量錯分樣本的損失。但由於0 1損失非凸，不好優化，於是人們採用了一系列的替代損失函式 surragate loss function 來替代...