1樓：「已登出」
第一次知乎答題，來講點我熟悉的例子吧。
在射影幾何中，點和直線的概念是對稱的。規定：
點 與直線 相關聯，如果點 位於直線 上，或者等價地，直線 通過點 。
這樣的「規定」彷彿在玩文字遊戲，不過它能幫我們以更明確的方式建立射影幾何中的對稱性。例如，「兩點連成一條直線」「兩條直線交於一點」的公理可以寫為：
(A1) 有且僅有一條直線同時與兩點相關聯。
(A2) 有且僅有乙個點同時與兩條直線相關聯。
這兩個公理的唯一區別就在於把點和直線的概念互換了。這便匯出了射影幾何中的乙個重要命題——對偶原理。
對偶原理：在射影平面上，如果在乙個射影定理中把點與直線的位置對調，即把點改成直線，把直線改成點，把點的共線關係改成直線的共點關係，則所得的命題仍然成立，此命題稱為對偶命題。
下面看乙個簡單的例子：笛沙格定理（Desargues's theorem）
笛沙格定理：射影平面上有兩個三角形 和 ，則 共點當且僅當 共線。
這個定理的充分性和必要性互為對偶命題。（當然，對偶性並不能作為笛沙格定理的證明，它只是說明笛沙格定理的的充分性和必要性是等價的）
笛沙格定理
對偶原理在二次曲線（即圓錐曲線）上具有更豐富的內涵。在射影平面上取定一條二次曲線 。對平面上的任何一點，規定它的對偶是它關於 的極線；而對任何一條直線，規定它的對偶是它關於 的極點。
特別地，上的點與該處的切線互為對偶。此時我們有如下的結論：
對偶原理：在射影平面上取定一條二次曲線 。如果在乙個射影定理中把點改成對偶直線，把對偶直線改成點，則所得的命題仍然成立。
帕斯卡定理（Pascal's theorem）和布利安桑定理（Brianchon's theorem）是射影幾何中最為優美的一對對偶定理之一。
帕斯卡定理：圓錐曲線的內接六邊形的三條對邊的交點共線。
布利安桑定理：圓錐曲線的外切六邊形的三條對角線共點。
帕斯卡定理
布利安桑定理
這兩個定理在文字表述和幾何圖形上都具有高度的對稱性。利用二次曲線，可以給出射影平面上的點和直線的直觀幾何變換：配極變換，即把點和直線分別變為它們的對偶。
另外，對偶幾何物件的射影座標表示也十分相似。
2樓：濟雲
對偶空間。
在數學裡，任何向量空間V都有其對應的對偶向量空間（或簡稱為對偶空間），由V的線性泛函組成。此對偶空間俱有一般向量空間的結構，像是向量加法及標量乘法。由此定義的對偶空間也可稱之為代數對偶空間。
在拓撲向量空間的情況下，由連續的線性泛函組成的對偶空間則稱之為連續對偶空間。
對偶空間是行向量（1×n）與列向量（n×1）的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為測度,分布及希爾伯特空間提供重要的觀點。對偶空間的應用是泛函分析理論的特徵。
傅利葉變換亦內蘊對偶空間的概念。
這裡給出代數對偶空間的定義:
設 為域 上的向量空間, 到 的線性對映稱為V上的線性函式. 向量空間 上線性函式的全體按照函式的加法和數乘運算構成向量空間 , 稱為 的對偶空間, 記為 .
作為向量空間也有對偶空間, 其對偶空間記為 . 稱為 的二重對偶空間. 有意思的是, 因為 , 所以 和 同構, 於是 和 同構.
以上定義, 以及更多的結論可以在任何一本高等數學教材中找到.
關於如何理解對偶空間, 已經有了很多優秀的答案了,請參考:
怎麼形象地理解對偶空間（Dual Vector Space）？
想請問如何形象的理解線性空間中的對偶空間對偶基對偶空間的對偶空間對偶基的對偶基這些概念?
3樓：鍵山怜奈
比如集合等式，對偶指的是把集合改為補集，交集改為並集，包含關係改為被包含關係
的對偶就是
比如邏輯式，對偶指的是把邏輯量取非，把蘊含關係改為被蘊含關係的對偶就是
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有夢想的鹹魚 這個問題有點意思 我覺得先要明確乙個概念，這個dota指什麼？是eul早期的dota地圖概念？是羊刀時期建立現在地圖框架的dotaallstar？是冰蛙破解後接手持續更新的dotaallstar？是南韓的dotachaos系列？是包括dotaex，dotadx，dotaclass之類的...
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