1樓：
沒有做過深入研究，但是之前在求解對流擴散問題(convection-diffusion equation)時，用過簡單的DG。以前聽別人說過如果將傳統FEM直接應用於流體，會有不穩定，結果不平滑等問題。自己試了下後有非常直觀的體會，這裡和大家分享下（嚴格來說我這回答是偏題的哈哈）。
想詳細了解DG的特點和優劣，還是參看其他優秀答案吧~
舉個簡單的平流問題：
可以把上式中的想成水中某種物質的濃度，是水的速度向量，是該物質自發生成或消失的速率，我們這裡把它設為零。邊界條件我設定了最簡單的：1個1m×1m的矩形區域，左邊界設濃度通量(flux)為1，右邊界設為自由出口，上下邊界為零通量(zero flux)。
區域內速度為x正方向1m/s。下面是用傳統FEM得到的結果，左圖為0.5s時的，右圖為1.
5s時的濃度分布。
上面的結果是大致符合精確解的，但是結果非常不平滑。1.5s時，理論上應該是整個區域的濃度都是1，雖然右圖的結果確實整個區域的濃度都在1附近，但是有較大波動和振盪。
這只是在求解乙個最簡單的平流問題，可以想象在解決更複雜問題時，會遇到更大的困難。
間斷有限元的特點是待解變數（如上例中的c）和其對應的test function（我習慣用表示）雖然在每個單元內連續，但是不一定在單元和單元間的邊界上連續，或者說是間斷的。這樣在求解如上例流體問題時，可以利用迎風特性，即在不考慮擴散的情況下，流體會從upwind流向downwind。如果乙個單元的邊界的外法向量點乘速度向量為正（0" eeimg="1"/>），我們就稱之為upwind，反之為負的稱為downwind。
在單元邊界上的待解變數取upwind的單元的值。下圖為用DG所得到的結果，可以看出質量比傳統FEM提高了不少。
這裡就順便給出詳細的數學推導：
上例平流問題的PDE所對應的弱形式為：
分部積分並把整個區域寫成各個單元的集合的形式：
而單元網格的邊界又可分為內邊界和外邊界。外邊界指不和其他任何單元接觸的邊界，如上例中位於正方形四個邊上的網格單元邊界。由兩個單元共享的單元邊界為內邊界。
現在我們就只關注內邊界，因為傳統FEM和DG的主要不同就在於內邊界上連不連續的問題。內邊界項如下式（+和-分別代表共享該內邊界的兩個相鄰單元上的值）：
對於傳統FEM，由於和在內邊界上連續，所以,。而（方向相反）。帶入後發現被積項等於零。所以對於傳統FEM，是沒有內邊界項的。
然而對於DG，用我們之前說到的迎風特性，和都取upwind的單元的值(如果0" eeimg="1"/>, 那麼，反之)。這樣將上內邊界項化簡得：
由於不連續性，所以DG比傳統FEM在內網格邊界上多了上述項。
2樓：汪韜
簡單的來說，DG去掉了通常有限元方法需要的弱連續性，形函式在相鄰單元之間的限制通過拉格朗日乘子法或者其他方法如新增懲罰項，使用數值跳量，加在了方程上。
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